Нечеткие отношения предпочтения и их свойства

С использованием нечетких бинар­ных отношений в отношении нестро­гого предпочтения R_≥ на множестве D задаются и описываются свойства не­четких отношений строгого предпочте­ния R_≥ и отношения безразличия R~. При этом обычно считают, что нечеткое отношение нестрогого предпочте­ния R_≥ обладает только свойством рефлексивности, то есть µ_R≥ (d', d") = 1 для любых d' D, а для любой пары элементов d', d" D значение функции принадлежности µ_R≥ (d', d") понимается как степень выполнения предпочтения: «элемент d' «не хуже» элемента d"». Равенство µ_R≥ (d', d") = 0 означает, что либо µ_R≥ (d",d') > 0 («элемент d" «не хуже» элемента d'»), либо — µ_R≥ (d", d') =0 (элементы d' и d" несравнимы между собой).

По заданному нечеткому отноше­нию R_> нечеткие отношения R_> и R~ определяются следующим обра­зом.

Нечеткое отношение строгого пред­почтения имеет функцию принадлеж­ности:

Нечеткое отношение безразличия имеет функцию принадлежности:

Помимо отношения безразличия, ко­торое транзитивно, симметрично и рефлексивно, вводится нечеткое от­ношение квазиэквивалентности R_# с функцией принадлежности µ_R# (d', d") = min {µ_R≥ (d', d"), µ_R≥ (d",d')}.

В отличие от отношения безразличия отношение R_# в общем случае нетранзитивно. В противном случае R_# = R~.

Таким образом, рассмотренные от­ношения предпочтения обладают сле­дующими свойствами нечетких би­нарных отношений: R~, R_# — реф­лексивны и симметричны; R_> — нерефлексивно и антисимметрично; во всех случаях, если исходное отноше­ние R_> транзитивно, то тем же свой­ством обладают и нечеткие отноше­ния /?ф и R^, a R~ — всегда транзи­тивно.

Как и в случае обычных нечеткий отношений, важным свойством яв­ляется свойство связности, которое приводит к тому, что во множестве D все элементы сравнимы по предпочти­тельности. В случае нечеткого отно­шения однозначно можно определить лишь полное отсутствие связности: нечеткое отношение не связно тогда и только тогда, когда среди эле­ментов множества D найдутся такие d' и d", для которых µ_R≥ (d', d") =µ_R≥ (d",d')= 0

Поэтому свойство связности нечеткого отношения пони­мается шире, чем в случае обычного отношения (функция принадлежности которого релейна) µ_R≥ = {0; 1}, то есть рассматривают различные степени связности отношения.

Отношение называется h-связным, если его функция принадлежности удовлетворяет условию

Так, отношение пред­почтения с функцией принадлеж­ности µ_R≥ является 0,55-связным, то есть из каждых двух элементов, по край­ней мере, один хуже другого со сте­пенью, большей 0,55.

Особое место в задачах принятия решений с использованием нечетких отношений имеют слабосвязные (h = 0) и сильно связные отношения. Для сильносвязного отношения функ­ция принадлежности удовлетворяет условию

что эквивалентно утверждению

Модельные отношения нечетких от­ношений предпочтения по аналогии с обычными отношениями имеют раз­личные градации, которые можно со­поставить с приведенными в табл. 1. В этом случае обычное отношение не­сравнимости и неразличимости за­дается нечетким отношением «сходство безразличия — подобия», а отноше­ние нестрогого предпочтения, модели­руемое несвязным квазипорядком, — «предпорядком»; отношения строгого предпочтения — «нестрогим» и «стро­гим порядком». Дополнительно ис­пользуют нечеткие отношения «раз­личия» (антирефлексивное, транзи­тивное, симметричное) и «несходства» (антирефлексивное, симметричное).

Для того чтобы осуществить одно­значный выбор среди множества до­пустимых альтернатив, выявленные предпочтения ЛПР должны в наиболь­шей степени соответствовать «идеаль­ной» системе предпочтений. Система предпочтений в таком определении в общем случае должна отвечать сле­дующему набору свойств: транзитив­ности, асимметричности (или в край­нем случае рефлексивности) и связ­ности. Для обеспечения указанного набора свойств необходимо получить от ЛПР очень «сильную» и объемную информацию как относительно его предпочтений, так и относительно су­щества рассматриваемой проблемы. При анализе слабоструктуризованных проблем на начальных этапах исследования в условиях существен­ной неопределенности и дефицита вре­мени удовлетворить таким требова­ниям практически невозможно. Это заставляет последовательно выяв­лять предпочтения ЛПР' по мере уяс­нения им целей и задач, условий про­ведения операции и получения про­межуточных результатов. Каждый от­дельный из применяемых способов выявления предпочтений не обеспе­чивает требуемого набора свойств и лишь частично вскрывает систему предпочтений и, следовательно, лишь частично снимает неопределенность в выборе. Степень снижения неопреде­ленности зависит от того, какими возможностями обладают те или иные способы выражения предпочтений, то есть на обеспечение каких именно требо­ваний к системе предпочтений они ориентированы в первую очередь. Вы­бирая тот или иной способ, необхо­димо руководствоваться, с одной сто­роны, степенью снижения неопределен­ности в выборе путем обеспечения кон­кретного свойства структуры пред­почтений, а с другой стороны, — воз­можностью использовать данный спо­соб на данном шаге принятия решений. Это приводит к противоречию между желанием использовать более простые способы и стремлением максимально вскрыть систему предпочтений ЛПР.

Для решения указанного противо­речия рассмотренные способы выра­жения предпочтения применяют в ком­плексе, обеспечивая их «вложенность» по последовательному сужению не­определенности в выборе в направле­нии обеспечения: 1) транзитивности на классах элементов из предъявлен­ной совокупности (способ сортировки с последующим ранжированием клас­сов); 2) асимметричности или хотя бы рефлексивности внутри класса (по­парное сравнение, балльное оценива­ние) и получения подклассов «нехуд­ших» элементов; 3) связности элемен­тов внутри подклассов (попарное срав­нение элементов в долях суммарной или относительной интенсивности, по­лучение коэффициентов важности); 4) проверки согласованности предпоч­тений (для устранения противоречи­вых суждений, возникших при де­композиции задачи).

Моделируемые отношения в случае 1 представляются квазисерией или стро­гим порядком (частичным или связ­ным), в случае 2 — частичным квази­порядком или эквивалентностью, в случае 3 — связным квазипорядком, то есть при выборе конкретного способа выявления предпочтений необходимо ориентироваться на то, какие свойства системы предпочтений будут выявлены.

В задачах принятия решений отно­шения предпочтения задают либо ана­литическими выражениями, либо ло­гическими условиями, либо алгоритмами. Это и определяет конкретный способ выражения и измерения пред­почтений.