Смешанные системы массового обслуживания

СМО с ограниченным временем ожидания характеризуется тем, что уменьшение числа заявок в ней происходит как в результате завершения обслуживания одной из заявок, так и в результате ухода заявок из очереди с интенсивностью v.

Если число заявок в системе k<n, то l_k_,_k_- ₁= km.. Если в очереди имеется r заявок (k=n+r), то переход из состояния S_k в состояние S_k_- ₁ осуществляется или в результате завершения обслуживания одной из п заявок, или в результате ухода из очереди одной из r заявок, то есть

Таким образом, для СМО с ограниченным временем ожидания

(6.37)

Граф состояний системы изображен на рис. 5.6 (п= 2 ).

Подставляя выражения (6.37) в формулы (6.8) и 6.9), как и в случае СМО с конечной очередью, получим

(6.38)

(6.39)

Рис. 6.5. СМО с ограниченным временем ожидания

. (6.40)

Определим основные показатели эффективности системы. Средняя длина очереди

(6.41)

На каждую из L заявок, находящихся в очереди, действует поток уходов интенсивности v, то есть в среднем в единицу времени из очереди уходит Lv заявок. Следовательно, абсолютная пропускная способность

; (6.42)

относительная пропускная способность

(6.43)

вероятность отказа в обслуживании

; (6.44)

среднее число занятых приборов

; (6.45)

вероятность того, что любая заявка будет обслужена,

. (6.46)

При вычислениях в формулах (6.38) и (6.41) в качестве приближенного значения для бесконечных сумм берется сумма конечного числа l –1 членов, а остаток оценивается следующим образом:

. (6.47)

Из выражений (6.42) – (6.46) следует, что основные показатели СМО можно вычислить через Р_отк, причём для определения Р_отк используют таблицы с тремя входами: n, a, b.

СМО с ограниченным временем пребывания характеризуется тем, что заявка может уйти необслуженной как из очереди, так и после начала обслуживания. Интенсивность перехода данной системы из состояния S_k в S_k_- ₁ (уменьшения числа заявок)

Подставляя выражения (6.1) и (6.47) в формулы (6.8) и (6.9), можно определить вероятности состояний данной системы.

Если одновременно накладываются ограничения на время ожидания (пребывания) и длину очереди, то число состояний системы конечно и равно n+m+1, а интенсивности переходов определяются формулами (6.37) или (6.47), в которых r = 1, 2,..., m. Типичным примером системы данного типа является вычислительное устройство, которое может одновременно обрабатывать n сообщений и имеет буферную память для хранения m сообщений. Поток сообщений – простейший поток интенсивности l, время обработки одного сообщения , информация теряет свою ценность через время . Граф состояний для случая n =2, m= 3 изображен на рис. 6.6.