2014-02-24
633
Операторы Гамильтона и Лапласа
Оператор Гамильтона (оператор набла) — векторный дифференциальный оператор первого порядка вида:
С учётом этого, градиент скалярного поля может быть записан как
Свойства градиента:
1.
2.
3.
4. по формуле:
Компоненты матрицы перехода находятся как.
3. Краевая задача. К краевым сводятся задачи, описывающие стационарные процессы. В этом случае время в уравнение не входит, соответственно начальные условия не задаются, и в задаче ставят только граничные (краевые) условия, то есть указывают поведение искомой функции на границе области. Если задаётся поведение самой искомой функции, то такую задачу называют задачей Дирихле, если задаётся значение первой производной искомой функции — задачей Неймана.
Определение начальных и граничных условий должно быть таким, чтобы малые изменения данных задачи вызывали лишь малые изменения в её решении. В этом случае говорят, что решение устойчиво относительно исходных данных.
Задача математической физики считается поставленной корректно, если решение, удовлетворяющее всем её условиям, существует единственно и устойчиво.
|
|
|
1. Что называют дифференциальным уравнением с частными производными?
2. Какое дифференциальное уравнение в частных производных называется линейным?
3. Приведите пример линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка
4. Что такое интеграл дифференциального уравнения в частных производных?
5. Что называют общим решением дифференциального уравнения с частными производными?
6. По какому признаку классифицируются дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка?
7. Запишитеуравнение колебаний струны. К какому типу уравнений оно относится?
8. Запишитеодномерное уравнение теплопроводности. К какому типу уравнений оно относится?
9. Запишитеуравнение Лапласа. К какому типу уравнений оно относится?
10. Каким общим признаком характеризуются физические процессы, описываемые дифференциальными уравнениями гиперболического типа.
11. Каким общим признаком характеризуются физические процессы, описываемые дифференциальными уравнениями параболического типа?
12. Каким общим признаком характеризуются физические процессы, описываемые дифференциальными уравнениями эллиптического типа?
13. На основании какого общего закона природы выводится уравнение теплопроводности?
14. Что задают начальные условия?
15. Что задают граничные условия?
16. Для чего необходима постановка начальных и граничных условий?
17. Какая задача называется задачей Коши?
18. Какие условия должны быть заданы в задаче Коши?
|
|
|
19. Какой физический смысл имеет условие, заданное для задачи Коши о свободных колебаниях струны:?
20. Какая задача называется смешанной?
21. В какой задаче задаются только краевые условия?
22. Приведите примеры задания начальных и граничных условий.
23. В каком случае можно считать решение задачи устойчивым относительно исходных данных?
24. В каком случае считается, что задача математической физики поставлена корректно?
