Производная по направлению. Градиент

Скалярное поле. Поверхности уровня.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Основные этапы развития математической физики

В самостоятельную науку математическая физика выделилась в конце XVIII – начале XIX века. Именно в этот период в трудах учёных впервые появляется словосочетание «математическая физика».

В сущности основы математической физики были заложены ещё в работах Г. Галилея, И. Кеплера и Р. Декарта. Позднее методы математической физики, как теории математических моделей физики, начали интенсивно разрабатываться в трудах И. Ньютона и Г. Лейбница по созданию основ классической механики, что потребовало создания нового математического аппарата — теории интегрального и дифференциального исчисления.

Дальнейшее развитие методов математической физики связано с изучением колебаний, явлений акустики и гидродинамики. Этот период связывают с именами таких учёных как Ж. Даламбер, Ж. Лагранж, Л. Эйлер, П. Лаплас, К. Гаусс.

В XIX – начале XX вв. развитие математической физики связано с решением задач теплопроводности, диффузии, теории упругости, теории потенциала, электродинамики и др. В этот период развития математической физики широкое распространение получают математические модели, основанные на вероятностно-статистическом подходе к описанию явлений. Большой вклад в развитие математической физики на этом этапе внесли Ж. Фурье, Б. Риман, М.В. Остроградский, С.В. Ковалевская, А.М. Ляпунов, В.А. Стеклов, С. Пуассон, Л. Больцман, О. Коши. П. Дирихле, Дж.К. Максвелл, А. Пуанкаре.

В XX веке возникают новые задачи газовой динамики, физики плазмы теории относительности и квантовой механики, что приводит к появлению математических моделей, основанных на теории операторов, обобщённых функциях и функциях комплексного переменного. Развитие методов математической физики на этого этапе связывают с трудами Д. Гильберта, П. Дирака, А. Эйнштейна, Э. Шрёдингера, Р. Фейнмана, Дж. фон Неймана, В. Гейзенберга.

Если в пространстве или любой части пространства каждой точке М сопоставлено значение скалярной величины, то говорят, что задано скалярное поле.

Примеры скалярных полей физических величин: поле плотности, поле давления, поле электростатического потенциала, поле температуры нагретого тела и т. д.

В общем случае скалярное поле представляет собой функцию трёх пространственных координат и времени В случае, когда поле не зависит от времени, скалярное поле называют стационарным (устоявшимся). Для простоты рассуждений при изучении основ математической теории поля будем рассматривать только стационарные поля.

Скалярные поля могут быть изображены геометрически с помощью поверхностей уровня.

Поверхностью уровня скалярного поля называется множество точек пространства, в которых скалярная функция имеет некоторое постоянное значение.

Уравнение поверхности уровня имеет вид: где В случае двумерного поля поверхности уровня вырождаются в линии уровня.

Примерами поверхностей уровня являются, в частности, эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда, в поле температуры — изотермы (), в поле давлений — изобары ().

Рис.21

Пусть в некоторой области пространства задано скалярное поле. Для количественной характеристики быстроты изменения поля в окрестностях произвольной точки поля вводят понятие производной по направлению.

Пусть скалярное поле имеет в точке зачение (рис.2), а в точке, находящейся на расстоянии от в направлении — значение.

Производной скалярного поляв точкепо направлению называется предел отношения приращения скалярного поля при смещении на вдоль к величине этого смещения, когда последнее стремится к нулю.

(2.1.1)

Рис.3232

В отличие от обычной производной значение производной по направлению зависит от выбора направления. Найдём алгоритм, позволяющий найти производную по направлению в точке, если заданы скалярное поле и некоторое направление.

Проведём через линию уровня, соответствующую значению. Построим также линию уровня, соответствующую большему значению поля (рис.3). Найдём производные по направлению нормали к линии уровня, и произвольному направлению (— единичные).

По определению производной по направлению:

Из анализа рисунка и условий, что, видно, что. Учитывая это, можно показать, что:

(2.1.2)

Из анализа выражения (2.1.2) следует, что в любой точке поля производная по нормали к линии уровня больше производной по любому другому направлению. Таким образом, можно считать, что направление нормали определяет направление наибыстрейшего возрастания поля. Это направление выделяют особо, и связывают с ним понятие градиента скалярного поля.

Градиентом скалярного поляв точке называются вектор, направленный в сторону наибыстрейшего возрастания скалярного поля, модуль которого равен производной скалярного поля по этому направлению:

(2.1.3)

С учётом (2.1.3) и определения скалярного произведения векторов формула (2.1.2) перепишите в виде:

(2.1.4)

Из выражения (2.1.4) следует, что производная по произвольному направлению любому направлению равна проекции модуля градиента на это направление.

Найдём координаты градиента в декартовой системе координат. По формуле (2.1.4):,,. Следовательно, в декартовой системе координат:

(2.1.5)

Модуль градиента скалярного поля рассчитывается по формуле:

Координаты единичного вектора в декартовой системе координат (рис.3) могут быть определены как,,, где,, — направляющие косинусы направления

Как уже было показано в выражении (2.1.4):. Тогда, учитывая свойства скалярного произведения векторов, производная по направлению может быть найдена следующим образом:

(2.1.6)