2014-02-24
939
Теплопроводности и его физический смысл
Фундаментальное решение уравнения
Для определения физического смысла полученного решения (4.3.9) рассмотрим фундаментальное решение уравнения теплопроводности.
Фундаментальным решением уравнения теплопроводности называют функцию
| (4.3.10) |
являющуюся частным решением уравнения теплопроводности (4.3.1). Фундаментальное решение является решением задачи теплопроводности в бесконечном стержне при начальном распределении температуры в виде теплового импульса.
Понятие теплового импульса имеет следующую интерпретацию. Если в начальный момент времени мгновенно сообщить стержню количество теплоты в точке то температура в точке поднимется до, а в остальных точках температура останется прежней. В этом случае решение уравнения (4.3.9) можно представить в виде:
| Рис.1291 |
Таким образом, физический смысл решения (4.3.9) можно представить как суперпозицию температур, возникающих в точке стержня с координатой в момент времени вследствие непрерывно распределённых по стержню тепловых импульсов, приложенных к точкам стержня в момент времени.
Полиномы Лежандра. Понятие о сферических
и шаровых функциях
Решение большого числа краевых задач математической физики приводит к решению уравнения Лапласа:
| (4.4.1) |
Ему удовлетворяют, например, потенциал электростатического поля в той области пространства, где отсутствуют заряды. К уравнению Лапласа приводится уравнение теплопроводности для стационарного распространения температуры. При определённом граничном условии, задающем функцию на некоторой замкнутой поверхности, уравнение Лапласа имеет однозначное решение.
Функции, удовлетворяющие решению уравнению Лапласа, называются гармоническими функциями.
В зависимости от формы поверхности, на которой задано граничное условие, для решения уравнения Лапласа используют различные системы координат. Рассмотрим решение уравнения Лапласа в сферической системе координат. Для этого вначале определим вид уравнения Лапласа в сферических координатах.
В криволинейной системе координатах оператор Лапласа имеет вид:
где,, — криволинейные координаты,,, — коэффициенты Ламе. В сферических координатах положение точки в пространстве задаётся величинами,,. Соответственно,,,, а коэффициенты Ламе;; Подставляя соответствующие координаты и значения коэффициентов Ламе в формулу для нахождения лапласиана в криволинейных координатах, получим уравнение Лапласа сферических координатах в следующем виде:
| (4.4.2) |
Будем искать его решение методом Фурье. Представим искомую функцию в виде произведения двух функций:
| (4.4.3) |
Подставим (4.4.3) в уравнение (4.4.2):
Разделим переменные:
| (4.4.4) |
где – некоторая постоянная (параметр разделения).
Из полученного выражения следует, что
| (4.4.5) |
| (4.4.6) |
Решение (4.4.6) также будем искать методом разделения переменных:
| (4.4.7) |
Подставляя (4.4.7) в уравнение (4.4.6), получим:
Разделим переменные, умножив обе части равенства на:
| (4.4.8) |
где — параметр разделения.
Из (4.4.8) получаем уравнения:
| (4.4.9) |
| (4.4.10) |
Найдём решение (4.4.9). Полагая, что, получим решение (4.4.9) в показательной форме:
| (4.4.11) |
где и — некоторые постоянные.
Из свойств сферических координат следует, что функция должна удовлетворять условию цикличности:. Следовательно, m должно являться целочисленным:
Для нахождения решения уравнения (4.4.10) введём обозначения: ,. С учётом замены уравнение (4.4.10) примет вид:
| (4.4.13) |
Решение этого уравнения имеет вид:
| (4.4.14) |
где — присоединённые полиномы Лежандра. Присоединённые полиномы Лежандра находятся по формулам Родрига:
| , | (4.4.15) |
| (4.4.16) |
где — полиномы Лежандра.
Найдём решение уравнения (4.4.5):. Раскрывая скобку, получим
Будем искать решение в виде Тогда
Таким образом, аналогично п. 4.4., решение краевых задач в цилиндрических координатах сводится к разложению функции, задающей граничные условия, в ряд по функциям Бесселя (в ряд Фурье–Бесселя):
