Первый случай

4.

3.

1.

7) 6) 8)

1) 2) 3) 4) 5)

3.

2.

1.

3).

2).

1).

Правило 2.

Правило 1

Если правая часть уравнения есть произведение показательной функции на многочлен, то частное решение уравнения следует искать в виде

- многочлен n-ой степени с неопределенными коэффициентами, а показатель степени равен кратности корня в характеристическом уравнении.

Если правая часть есть многочлен n-ой степени, то частное решение такого уравнения, где - многочлен n-ой степени с неопределенными коэффициентами показатель степени равен кратности корня

Пример

| 12A = 1 | 6A+8B=0 | 2B+4C=0

Если правая часть

и - многочлены

и - многочлены k-ой степени общего вида с неопределёнными коэффициентами

- кратность корней характеристического уравнения, где не является корнем характеристического уравнения

Пример

Сводная таблица видов частных решений для различных видов правых частей.

Правая часть дифференциального уравнения	Корни характеристического уравнения	Виды частных решений
	1. Число 0 не является корнем характеристического уравнения	многочлен с неизвестными коэффициентами
2. Число 0 корень характеристического уравнения кратности
	1. не является корнем характеристического уравнения
2. является корнем характеристического уравнения кратности
	1. не является корнем характеристического уравнения
2. является корнем характеристического уравнения кратности
	1. не является корнем характеристического уравнения
2. является корнем характеристического уравнения кратности

Пример 1.

;

Пример 2.

;

;

8. Уравнение Эйлера

Уравнение вида (1)

где - постоянные; называется уравнением Эйлера.

Пример.

;

;;

;

9. Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Этот метод называется методом сведения к уравнению соответствующего порядка. Порядок уравнения зависит от количества уравнений системы.

Пример 2.

;

;

Пример 3

- характеристическое уравнение системы

Теория функций комплексного переменного.

1. Комплексные числа

- действительная часть

- мнимая часть

называется сопряженным комплексному числу

Комплексные числа и называются равными, если и

- модуль комплексного числа

- главное значение

Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а их аргументы либо равны, либо отличаются на величину, кратную.

Действия над комплексными числами

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются

Формула Муавра

Свойства модуля комплексных чисел

Точки соответствующих значений являются вершинами правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат. Любое число z, не равное нулю, можно записать в показательной форме, где,.

Формула Эйлера

(a)

(b)

2. Непрерывные функции комплексного переменного

Пусть на множестве E комплексной плоскости z определена комплекснозначная функция W=f(z)

Комплекснозначную функцию комплексного переменного можно рассматривать как пару действительных функций двух действительных переменных.

Все свойства функций действительных переменных переносятся на функции комплексного переменного.

Предел функции.

Пусть точка является предельной точкой множества E, то есть любая окрестность точки содержит бесконечное число точек множества E.

Число A называется пределом при, если

или при

Если сходится к A, т.е.

Существование, где, равносильно существованию пределов и

Пределы функции комплексного переменного обладают такими же свойствами.

Если,, то

,

Непрерывность.

Пусть определена на множестве E и точка.

Функция называется непрерывной в точке, если

Функция называется непрерывной в точке, если и непрерывны в точке.

называется непрерывной на множестве E, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Сумма, разность, произведение и частное (в тех точках, в которых знаменатель не равен нулю) непрерывных функций комплексного переменного является непрерывной функцией.

3. Дифференцирование функций. Условие Коши-Римана.

Пусть определена в некоторой окрестности точки.

Если существует конечный предел..................................................... (1),

то этот предел называется производной функции в точке, а называется дифференцируемой в точке.

называется дифференцируемой в области, если она дифференцируема в каждой точке этой области.

....................................................................................... (2)

:

, где

Если. (3), то, где A – комплексная постоянная, не зависящая от.

Равенство (3) является необходимым и достаточным условием дифференцируемости в точке.

Из (3) следует, что функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

Пример

C = Const

Если существует, то имеет один и тот же предел при по любому пути.

Функция комплексного переменного, дифференцируемая в области, обладает производными всех порядков в этой области.

На функции комплексного переменного распространяются известные формулы дифференцирования.

Если и дифференцируемы в точке z, то их сумма, произведение и частное так же дифференцируемы в этой точке.

2., C = Const

Если дифференцируема в точке z, а дифференцируема в точке, то

Замечание.

Непрерывность функции комплексного переменного в точке равносильно непрерывности функций и в точке. Аналогичное утверждение не имеет места для дифференцируемости. Именно требование дифференцируемости функции налагает дополнительные условия на частные производные функций и.

Условие Коши-Римана.

Теорема 1.

Чтобы функция была дифференцируема в точке необходимо и достаточно, чтобы 1) функции и были дифференцируемы в точке, и 2) в точке выполнялись условия Коши-Римана......................................................................................... (4)

Для выполнения условий теоремы имеет место формула............................... (5)

Доказательство:

Необходимость.

Пусть функция дифференцируема в точке, тогда (6)

............................................................................................ (7)

Выделяя в последнем выражении действительные и мнимые части находим

..................................................................................................................... (8)

Действительная функция дифференцируема в точке только если и приращение представляется в виде, где и - действительные числа, не зависящие от и.

При этом и

.......................................................................................................................................... (9)

Аналогично найдём, что.

Вывод: и в формулах (8) удовлетворяют условиям (9) и поэтому функции и дифференцируемы в точке.

Из формулы (8);;;

Отсюда следует формула Коши-Римана

Достаточность.

Пусть функции и дифференцируемы в точке и пусть выполняются условия (4), тогда имеет место равенство (8) где и.

Умножая вторые из этих равенств на и складывая с первым получаем

или

или

, где

Отсюда следует дифференцируемость функции в точке.

Пример.

;

Функции,, z, z дифференцируемы во всей комплексной плоскости и их производные вычисляются по формулам,,,.

Замечание.

Пусть, тогда

Эти формулы связывают декартовые и полярные координаты

;

Формулы для производной

4 Сопряжённые гармонические функции

Пусть дифференцируема в области и пусть и имеют непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Тогда

.................................................................................................................................. (10)

Складывая эти равенства получаем

Аналогично

Действительная функция имеющая в области непрерывные частные производные второго порядка и удовлетворяет уравнениям (10) называется гармонической на области. А сами уравнения (10) называются уравнениями Лапласа.

Теорема.

Для дифференцируемой функции в области необходимо и достаточно, чтобы и были сопряжёнными гармоническими в этой области, т.е. зная одну из функций, можно в односвязной области найти другую функцию.

Пример.

Найти дифференцируемую функцию, если.

;

Данная функция дифференцируема во всей комплексной области.

5 Конформное отображение

Пусть функция дифференцируема в некоторой точке и

Пусть дифференцируема в некоторой окрестности точки и.

Рассмотрим гладкую кривую.

,

,

- угол, образуемый касательной к кривой в точке и положительным направлением действительной оси в плоскости.

- образ кривой при отображении.

- образ точки.

По правилу дифференцирования сложной функции

(1)

Т.к., то, т.е. кривая имеет касательную в точке.

Пусть, тогда, т.е. (2)

Величина называется углом поворота в точке при отображении.

Из (1) и (2) следует если, то угол поворота в точке не зависит от вида и направления кривой и равен, т.е. все кривые, проходящие через точку поворачиваются при отображении, на один и тот же угол, равный аргументу производной в точке.

Т.о. отображение, где дифференцируемая в окрестности точки функция, сохраняет углы между кривыми, проходящими через не только по величине, но и по направлению отсчёта.

6 Постоянство растяжений

Пусть дифференцируема в некоторой окрестности точки и. Рассмотрим произвольную точку кривой, расположенную достаточно близко к.

Из определения производной следует

, где при

(3)

Пусть, где - фиксировано.

Окружность переходит при отображении в кривую, которая мало отличается от окружности.

Отображение с точностью до малых более высокого порядка, чем растягивает круг в раз. Величина называется линейным растяжением кривой в точке при отображении.

Вывод:

Линейное растяжение в точке не зависит от вида и направления кривой и равно. Отображение называется конформным в точке если оно сохраняет углы между кривыми и обладает свойством постоянства растяжений в точке.

Замечание:

Условие означает, что екобеан отображения в точке отличен от нуля.

Отображение эквивалентно действительному отображению

....................................................................................................................................... (4)

Если, то

7 Интеграл по комплексному переменному

Кривая (линия Жордана) называется гладкой, если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную. Кривая называется кусочногладкой, если она состоит из конечного числа гладких дуг. непрерывна в некоторой области. - произвольная гладкая кривая, лежащая в области. Рассмотрим дугу кривой с началом в точке и с концом в точке. Разделим эту дугу на частей произвольными точками расположенных последовательно и составляющих их сумму

;

Пусть - наибольшая из величин.

Если, то и сумма стремится к некоторому пределу (интегралу)

Если, то сводится к двум криволинейным интегралам от действительных функций

Пусть - кусочногладкая линия, состоящая из гладких частей, тогда интеграл по этой линии

Теорема Коши для случая непрерывной производной.

Пусть дифференцируема в конечной односвязной области и непрерывна в области, тогда по любой замкнутой кривой лежащей в области равен нулю.

Замечание и дополнение к теореме Коши.

Следствие 1.

Если дифференцируема в конечной односвязной области, то не зависит от пути интегрирования. Кривую можно деформировать в области, оставляя концы неподвижными и не меняя значения интеграла.

Пусть граница многосвязной области состоит из замкнутой кусочногладкой кривой и попарно непересекаемых замкнутых кусочногладких кривых расположенных внутри

, где кривые ориентированы так, что при обходе каждой из них область остаётся слева (положительное направление обхода границы области).

Интеграл и первообразная

Если не зависит от пути интегрирования, то, где - начальная точка, а - конечная точка кривой.

Пусть фиксирована, тогда интеграл является функцией от.

Теорема.

Пусть непрерывна в конечной области и пусть по любой замкнутой кривой лежащей в области равен нулю, тогда, где,

Теорема.

Если дифференцируема в конечной односвязной области, то она имеет в этой области первообразную.

Теорема.

Совокупность всех первообразных функций в области определяется формулой, где - какая-нибудь первообразная функции, а - произвольная постоянная.

Опираясь на данные теоремы мы можем использовать формулу Ньютона-Лейбница

При удовлетворении данных теорем справедливы формулы интегрирования по частям

8 Ряд Лорана

Теорема 1.

Пусть.

Всякая аналитическая функция в кольце (1) однозначна и представлена в виде сходящегося ряда

(2)

(3)

;

Ряд (2) называется рядом Лорана функции по степеням или разложением Лорана функции в кольце (1).

Когда полагаем, что сходится, то подразумевается, что сходятся отдельно и

Пример.

Функция аналитическая на плоскости за исключением точек 2 и 3.

a) Функция аналитична в круге и на основании теоремы её можно разложить в ряд Тейлора по степеням сходящимся в круге

;

b) Функция аналитическая в кольце

- окружность ориентирован против часовой стрелки.

Для

c) Функция аналитична во внешней области круга и удовлетворяет неравенству.

можно разложить в ряд Лорана

Элементы не могут входить в разложение

Пример.

Разложить в ряд Тейлора по степеням

- открытый круг с центром в точке радиуса.

Внутри аналитическая, а любой больший его концентрический круг содержит в себе особую точку, в которой аналитичность нарушается. Разложим в ряд Тейлора по степеням

Вывод:

Искомая функция есть разложение в ряд Тейлора по степеням функции. Радиус сходимости этого ряда.

9 Классификация изолированных особых точек

Пусть и аналитична в кольце, то она раскладывается на сходящийся в ней ряд Лорана.

Пусть предполагается, что функция аналитическая во внешнем круге, из которого выколота точка

В точке функция бывает неопределенна, в этом случае - изолированная особая точка. Степенной ряд имеет радиус сходимости поэтому его производная непрерывна в круге

Т.к. степенной ряд сходится для любого, то его радиус сходимости равен и его сумма определена и непрерывно дифференцируема во всех точках круга. Т.о. функция аналитична в этом круге. Если принять, то функция будет аналитичной. В этом случае особенность в точке устранима. Достаточно положить, как функция станет аналитической не только поблизости от точки, но и в самой точке.

для любого замкнутого контура содержит точку и принадлежащего кругу.