Найти модуль и аргумент комплексного числа

1)

Найти действительные решения уравнений.

Третий случай.

Второй случай.

Т.к. для

В этом случае полагают, что точка есть полюс функции порядка (кратности). При точку называют простым полюсом.

Т.к. и

Если - контур, ориентированный против хода часовой стрелки и принадлежащий кругу, то

В ряду не равно нулю бесконечное число коэффициентов. Считается, что имеет в точке существенную особенность.

Однако в указанных условиях не стремится при к какому-либо пределу.

Пример.

Здесь имеется существенная особенность в точке. Эта функция не имеет предела в точке. - существенно особая точка.

10 Вычеты

Пусть - полюс -го порядка функции. Вычет функции относительно её полюса -го порядка вычисляется по формуле

Если - полюс 1-го порядка

При вычислении вычета в точке

(ряд Лорана)

Теорема о вычетах.

Пусть аналитическая на всей плоскости за исключением конечного числа точек. Тогда

Доказательство.

Построим окружности ориентированные по часовой стрелке с центрами соответствующие настолько малого радиуса, чтобы они не пересекались. Кроме того, построим окружность ориентированную против часовой стрелки с центром в нулевой точке настолько большого радиуса, чтобы она охватывала все окружности.

Сложный контур ограничивает область в которой функция аналитическая.

При обходе по область остаётся слева, тогда на основании теоремы Коши для сложного контура

(*)

или

Внутри каждого из контуров находится одна особая точка, а вне контура только одна особая точка.

Вывод:

Если затруднительно вычислить интегралы из (*).

Само вычисление этих интегралов сводится к разложению в ряд Лорана в окрестности соответствующих особых точек.

11. Вычисление интегралов при помощи вычетов

Теорема 1.

Пусть удовлетворяет перечисленным условиям и кроме того

при, а - достаточно большое число.

Тогда

Доказательство.

Опишем полуокружность ориентированную против часовой стрелки радиуса.

, при, то при

Теорема 2.

Пусть функция удовлетворяет условиям, отмеченным в начале и, тогда

Пример 1.

Найти вычеты функции.

Пример 2.

- полюс третьего порядка

Пример 3.

Имеется устранимая особенность в точке

;

Пример 4.

; - аналитична в верхней полуплоскости, кроме точек

;;;

Пример 5.

Полюсами являются корни уравнения, которые лежат внутри окружности.

Теорема.

Если имеет в расширенной комплексной плоскости конечное число особых точек, то сумма всех её вычетов, включая вычет в бесконечности равна нулю.

12. Вычисление интегралов, содержащих показательную функцию

Интегралы Френеля (1788-1827)

,

13. Задачи по Теории Функции Комплексного Переменного

;;;

;

2)

3)

;

1)

2)

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа