Проводники и диэлектрики в электростатическом поле. Энергия электрического поля

Основные понятия, законы, соотношения

Электростатическая индукция. Распределение заряда на проводнике.

Вектор электрического смещения D. Поляризованность Р. Теорема Гаусса. Условия на границе раздела двух сред.

Энергия заряженного конденсатора. Объемная плотность энергии
электрического поля.

[1] т. 2 §§ 12-15,18-23; [ 2 ] §§ 88-90, 92-95.

Основная задача электростатики - расчет поля при наличии проводника решается с помощью метода суперпозиции и метода зеркальных изображений.

Идея метода зеркальных изображений заключается в том, что ищется другая задача - такая, которая решается просто и решение которой может быть использовано. Например, необходимо рассчитать поле, созданное точечным зарядом q, находящимся около безграничной проводящей плоскости (рисунок З а). В этом случае можно использовать решение задачи с двумя точечными зарядами q и - q. Поле этой системы известно, его эквипотенциали и линии вектора Е показаны на рисунке 3 б. Если совместить со средней эквипотенциальной поверхностью (её потенциал φ = 0) проводящую плоскость и убрать заряд - q, то поле в верхнем полупространстве останется прежним (рисунок З в).

Рисунок 3

Итак, в рассматриваемом случае поле отлично от нуля только в верхнем полупространстве и для вычисления этого поля достаточно ввести фиктивный заряд - «изображение» данного заряда (- q), противоположный по знаку заряду q, поместив его по другую сторону проводящей плоскости на таком же расстоянии от нее, что и заряд q. Фиктивный заряд q создает в верхнем полупространстве точно такое же поле, как и индуцированные заряды на плоскости. Именно это подразумевают, когда говорят, что фиктивный заряд (- q) заменяет собой "действие" всех индуцированных зарядов.

При расчете поля в диэлектриках используют следующие два метода. Первый метод основан на принципе суперпозиции. Здесь сначала рассчитывают поле свободных, или (как иногда их называют) «сторонних», зарядов Е ₀. Затем определяют поле связанных зарядов E'. И, наконец, напряженность поля Е в диэлектрике в соответствии с принципом суперпозиции, находят как сумму Е = Е ₀ + Е'.

Второй метод основан на применении теоремы Гаусса, с помощью которой находят вектор электрического смещения D, затем определяют напряженность электрического поля Е. Использование теоремы Гаусса в интегральной форме для расчета полей эффективно в тех случаях, когда поле обладает специальной симметрией. Симметрия, а следовательно, и конфигурация поля должны быть такими, чтобы можно было подобрать сферическую или цилиндрическую замкнутую поверхность, вычисление потока электрического смещения сквозь которую свелось бы к умножению D (или Е) на площадь S этой гауссовойповерхности (или ее части).

Метод Гаусса предполагает поэтапное выполнение следующих действий:

1) определить, исходя из симметрии заданного распределения сторон
них зарядов, конфигурацию линий вектора D (или Е);

2) подобрать форму и размеры замкнутой поверхности с учетом симметрии поля;

3) изобразить на рисунке линии вектора D и вспомогательную поверхность;

4) выразить поток электрического смещения Ф_D сквозь эту поверхность через значение модуля D (или Е) в точках на выбранной поверхности и ее (поверхности) параметры (т.е. радиус, длину и т.п.);

5) найти суммарный сторонний заряд Q, охватываемый этой поверхностью, т.е. находящейся внутри нее;

6) на основании теоремы Гаусса составить уравнение, приравняв поток Ф_D найденному заряду Q, и найти электрическое смещение D(r) или
D(x) (в зависимости от симметрии поля).

Пример 10.

Два бесконечно длинных тонкостенных коаксиальных цилиндра радиусов R₁ и R₂ равномерно заряжены с поверхностными плотностями зарядов σ₁ и σ₂ Пространство между цилиндрами заполнено однородным и изотропным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε. Определить напряженность Е во всех точках поля.

Решение.

1) Сторонние заряды в рассматриваемой физической системе распределены равномерно на двух цилиндрических поверхностях, имеющих общую ось. Эта ось и является осью симметрии. Исходя из симметрии системы можно заключить, что как напряженность Е, так и смещение D направлены радиально, а их модули зависят от одной координаты - расстояния r точки поля до оси.

2) Вспомогательную (гауссову) поверхность выберем в форме цилиндра произвольного радиуса r и длины ℓ, коаксиального с заданным цилиндром (рисунок 4)

Рисунок 4 Рисунок 5

3) На рисунке 5 изображена картина линий вектора электрического смещения D для случая, когда внутренний цилиндр заряжен положительно, а внешний - отрицательно (σ₂ < 0).

4) Поток электрического смещения сквозь выбранную поверхность в нашем случае равен:

Ф_D = D (r)· 2πrℓ, (6.1)

здесь учтено, что линии вектора D пронизывают только цилиндрическую часть поверхности (по радиальным линиям), а через торец вспомогательного цилиндра поток равен нулю, т.к. линии поля лишь скользят вдоль, но не пронизывают его.

5) Величина стороннего заряда Q, охватываемого гауссовой поверхностью, равна:

а) Q = 0, если r < R₁ (точка А на рисунке 4);

б) Q = σ₁ · 2πRℓ, если R₁ ≤ r ≤ R₂ (точка B);

в) Q = (σ₁·R₁ + σ₂·R₂)· 2πℓ, если r ≥ R₂ (точка С).

6) в соответствии с теоремой Гаусса:

0, r < R₁