Законы сохранения импульса, момента импульса и энергии

Основные понятия, законы, соотношения

Импульс системы частиц. Внешние и внутренние силы. Замкнутая (изолированная) система частиц. Закон сохранения импульса.

Закон сохранения момента импульса.

Работа силы. Кинетическая энергия частицы, вращающегося твердого тела. Консервативные силы. Потенциальная энергия. Полная механическая энергия. Закон сохранения механической энергии.

[1]т.1§§ 15-17,21-27; [2] §§9,11-13,19.

Законы сохранения в механике позволяют рассматривать общие свойства движения без решения дифференциальных уравнений и детальной информации о развитии процессов во времени.

Общим для всех законов сохранения является утверждение о сохранении какой-то физической величины, обозначим ее , при определенных условиях. Набор этих условий обозначим через .

Метод применения законов сохранения в самом общем виде предполагает следующие действия:

▪ выяснить, какие тела следует включить в рассматриваемую физическую систему;

▪ рассмотреть процесс взаимодействия тел в данной системе, выделив:
а) состояние системы до взаимодействия;

б) состояние тел после их взаимодействия;

в) сам процесс взаимодействия;

▪ проверить, выполняются ли условия в данной системе;

▪ выбрать инерциальную систему отсчета, относительно которой определяют значение величины А] (до взаимодействия);

▪ определить значение величины А₂ в конце взаимодействия;

▪ записать закон сохранения в виде уравнения:

А_х = А₂

и решить его относительно искомой величины;

▪ если сохраняющаяся величина векторная, то полученное векторное уравнение спроецировать на соответствующие оси координат.

Пример 5.

Платформа в виде диска радиусом может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. На краю платформы стоит человек массой . С какой угловой скоростью будет вращаться платформа, если человек пойдет вдоль края со скоростью относительно платформы? Масса платформы - . Трением пренебречь.

Решение.

1) Физическая система включает человека и платформу.

2) Первоначально оба тела неподвижны относительно земли. Затем человек начинает идти по краю платформы. При этом человек взаимодействует с ней, в результате чего платформа начинает вращаться в обратную сторону. Однако характер взаимодействия (величина этой, внутренней для рассматриваемой системы, силы) нам неизвестен, поэтому применить уравнение динамики вращательного движения к платформе невозможно. Закон сохранения механической энергии здесь также неприменим, поскольку первоначально , но, перемещаясь по платформе, человек совершает работу, увеличивая механическую энергию системы, а значит .

3) В рассматриваемой системе тел действуют внешние силы - это силы
тяжести и реакции опоры (на которой установлена платформа). Момент этих
сил относительно оси вращения равен нулю , так как линия действия силы тяжести параллельна оси , а линия силы реакции опоры
пересекает ось . Следовательно, суммарный момент импульса тел относительно оси вращения остается постоянным:

L_]_Z = L₂_Z,, (3.1)

где индексы 1 и 2 относятся соответственно к начальному и конечному состояниям системы.

4) В инерциальной системе отсчета, связанной с Землей, оба тела первоначально находились в состоянии покоя, поэтому L_]_Z =0.

5) При движении скорость v человека относительно выбранной системы отсчета (согласно закону сложения скоростей) складывается из скорости его движения относительно платформы и линейной скорости точек края вращающейся платформы:

, (3.2)

где учтено, что эти скорости направлены в противоположные стороны. Момент импульса системы при этом равен:

, (3.3)

здесь - момент инерции платформы.

6) Применим закон сохранения момента импульса:

. (3.4)

Решив полученное уравнение относительно искомой величины, получим ответ:

. (3.5)