2014-02-24
413
Глава 5. Фундаментальные законы механики.
.
Линия узлов
Традиционно углы Эйлера вводятся следующим образом. Переход из отсчетного
положения в актуальное осуществляется тремя поворотами (рис.4.9):
1. Поворот вокруг на угол прецессии При этом переходит в положение,(в).
Этот поворот описывается тензором
2. Поворот вокруг на угол нутации. При этом,.
Этот поворот описывается тензором
4. Поворот вокруг на угол собственного (чистого) вращения– тензор.
Таким образом, результирующий тензор поворота равен
(4.26)
Для наглядности на рис.4.10 изображен волчок и углы Эйлера, описывающие его ориентацию.
Покажем, что традиционная последовательность поворотов (4.26) может быть заменена
на последовательность поворотов на те же самые углы вокруг неподвижных осей:
1. Поворот вокруг на угол собственного (чистого) вращения
2. Поворот вокруг на угол нутации..
4. Поворот вокруг на угол прецессии
Поскольку, то по теореме (4.19)
,
.
Подставляя эти выражения в (4.26), получим с учетом))
|
|
|
. (4.27)
Разумеется, преимущество (4.27) по сравнению с (4.26) в том, что оси поворотов неподвижны.
Вектор угловой скорости по теореме о сложении угловых скоростей (4.23) равен
Это же (правильное) выражение обычно получают из (4.26), применяя правдоподобные
рассуждения о сложении «бесконечно малых» поворотов; применив их к другой
последовательности поворотов, например (4.27), получим абсолютно неверный результат
.
Из (4.27) видно, что при малом угле нутации, когда тензор поворота
- углы и в линейном приближении становятся
неразличимы и входят в уравнения в виде суммы (+. В этом неудобство углов Эйлера.
2. Самолетные (корабельные) углы.
Этого недостатка лишены самолетные (корабельные) углы (рис.4.11).
Рис.4.11
Переход из отсчетного положения в актуальное можно осуществить
тремя поворотами (повернуть самостоятельно!) (рис.4.11):
1. Поворот вокруг на угол рысканья, при этом
2. Поворот вокруг на угол тангажа, при этом
4.Поворот на угол крена вокруг.
Тензор поворота равен (4.28)
Выражение «можно осуществить» неслучайное; нетрудно понять, что возможны и другие
варианты, например, повороты вокруг фиксированных осей. Применяя теорему о тензоре
поворота с повернутой осью (4.19) из того, что,
будем иметь
=
=.
Таким образом, получили следующую композицию поворотов:
1. Поворот вокруг на угол крена (рискуя сломать крылья)
2. Поворот вокруг на угол тангажа (подъем «носа»)
4. Поворот вокруг на угол рысканья
Тензор поворота и вектор угловой скорости имеют вид
(4.29)
4. Трехстепенной гироскоп в кардановом подвесе.
| ротор |
| Внутренняя рамка ррарамка |
|
|
|
Карданов подвес имеет три физических оси поворота, поэтому нетрудно догадаться,
как тремя поворотами вокруг неподвижных осей перевести ротор гироскопа из отсчетного
положения в актуальное.Разумеется, последовательность поворотов может быть любой,
но, как мы убедились, повороты вокруг неподвижных осей самые удобные.
,
. (4.30)
Физические оси позволяют правильно найти угловую скорость как сумму угловых скоростей
вращений вокруг этих осей в актуальном положении.
4. Движение конуса по конусу
Рис.4.14. Качение конуса
Ориентация подвижного конуса задается двумя углами – углом поворота вокруг
оси неподвижного конуса (вектора) и углом вращения вокруг собственной оси,
актуальное положение которой задается вектором.
Тензор поворота - повороты вокруг неподвижных осей.
Вектор угловой скорости. (4.31)
Если нет проскальзывания, то длина дуги окружности основания неподвижного конуса равна
длине соответствующей дуги подвижного:, откуда и
. Векторное произведение угловой скорости на вектор касающихся
образующих конусов равно нулю:,
следовательно, параллелен (см.рис.).
4.1..Сложное движение точки. Теоремы о сложении скоростей и
ускорений (теорема Кориолиса).
Имеются две системы отсчета - называемая неподвижной система S, в которой будут
написаны все формулы, и подвижная 4.15)
z
В
А
А y
x S Рис.4.15
Движение точки по отношению к неподвижной системе называется абсолютным;
скорость и ускорение обозначаются.
Движение точки по отношению к подвижной системе называется относительным;
скорость и ускорение обозначаются.
Движение подвижной системы по отношению к неподвижной называется переносным;
скорость и ускорение того места подвижной системы, где в данный момент находится
рассматриваемая точка, обозначаются
Вектор положения точки в неподвижной системе может быть представлен в виде суммы
,
Разложим по базису подвижной системы:,
где – координаты относительного движения точки. Таким образом,
(4.32)
Для упрощения записи формул ниже символ зависимости величин от времени опустим.
Дифференцируя (4.32) и заменяя по формуле Эйлера, где – угловая скорость подвижной системы, получим
. (4.33)
Первые два слагаемых – уже знакомая скорость того места подвижной системы, где
находится наблюдаемая точка, то есть переносная скорость
, (4.34)
а сумма произведений производных относительных координат на базисные векторы
подвижной системы является относительной скоростью:
. (4.35)
Таким образом, абсолютная скорость равна сумме переносной и относительной:
.(4.36)
Продифференцируем (4.33):.
Подставив в это выражение - вектор углового ускорения подвижной системы, ранее
полученную формулу (см. 4.33),формулу Эйлера,получим
Первые три слагаемые - ускорение того места подвижной системы, где находится точка,
то есть переносное ускорение
, (4.37)
сумма произведений производных относительных координат на базисные векторы
подвижной системы является относительным ускорением
, (4.38)
а последнее, далеко не очевидное слагаемое называется ускорением Кориолиса
. (4.39)
Получили теорему о сложении ускорений (теорему Кориолиса): Абсолютное ускорение
равно сумме переносного ускорения, относительного и ускорения Кориолиса:
(4.40)
Замечание. Относительные скорость и ускорение обычно
называют скоростью и ускорением, измеряемыми «подвижным наблюдателем»,
что не совсем верно, поскольку для подвижного наблюдателя подвижный базис
является неподвижным, то есть «истинные» относительные скорость и
ускорение равны, а и ускорение -это
повернутые вместе с подвижной системой «истинные».
Все вышеизложенное можно кратко получить, используя тензор поворота.
|
|
|
Вектор положения точки в неподвижной системе может быть представлен в виде суммы
,
где -тензор поворота подвижной системы отсчета, – вектор в
неподвижной системе, описывающий относительное движение, -
повернутый вместе с подвижной системой вектор, т.е это вектор относительного
положения, каким его видит неподвижный наблюдатель (рис.4.14). Дифференцируя это
равенство и воспользовавшись формулой Пуассона получим теорему сложения
скоростей
+,
а дифференцируя еще раз – теорему о сложении ускорений
4.2.8. Сложное движение тела
Рассматривается движение тела («летающей тарелки») относительно двух систем отсчета-
неподвижной с ортами и подвижной с ортами (рис 4.16).
Необходимо определить абсолютную ориентацию тела по известной ориентации
подвижной системы и относительной ориентации, информация о которой может быть
передана в неподвижную систему любым способом, например, в виде телевизионной
картинки или в числовом виде посредством направляющих косинусов,
измеряемых подвижным наблюдателем.
Рис.4.16
Тензор поворота, описывающий «абсолютную» ориентацию;
описывающий переносное движение тензор поворота
относительной ориентации введем в виде т.е. этот тензор
действительно описывает то движение, которое «видит» подвижный наблюдатель,
одушевленный или неодушевленный (например, телекамера) и которое неподвижный
может наблюдать на экране телевизора. Таким образом,
(4.41)
Вектор угловой скорости по теореме о сложении угловых скоростей имеет вид
(4.42)
Вектор углового ускорения
, или
(4.43)
Существует и другая [4] интерпретация сложного движения, которая в части описания
.ориентации по сути не отличается от вышеизложенного подхода, а вот в части определения
относительной угловой скорости отличается существенно.
Тензор поворота переносного движения, как и ранее.
Тензором относительного поворота называется;.Действительно,
матрица компонент этого тензора, записанного в базисе, описывает относительную
|
|
|
ориентацию.
Очевидно, что тензор поворота абсолютного движения.
Сразу же отметим, что - это повернутый вместе с подвижной системой «истинный» тензор
поворота относительного движения:
,
так что – формула (4.41).
Векторы абсолютной и переносной угловых скоростей вводятся обычным способом в
соответствии с формулой Пуассона, а вот вектор относительной
угловой скорости определяется таким образом, чтобы формула сложения угловых
скоростей имела привычный (см. любой учебник) вид
. (4.44)
Для этого вводится формулой
, (4.45)
где - производная Яуманна, известная в теоретической механике как относительная
производная. Так, если вектор задан координатами в подвижном базисе, то полная
производная по времени имеет вид
,
где подчеркнутое слагаемое – относительная производная, т.е. производная, которую
вычислял бы подвижный наблюдатель, для которого базисные векторы неподвижны.
. Таким образом,
.
Совершенно аналогично для тензора
. (4.46)
Дифференцируя и заменяя по (4.46), (4.45), придем к (4.44).
Собственно говоря, из (4.42) следует, что, т.е. это повернутый вместе с
подвижной системой (вместе с телевизором) «истинный» вектор угловой скорости
относительного движения. При графоаналитическом решении задач, когда, разумеется,
рассматривается актуальное состояние, именно изображается на рисунках.
В качестве примера можно рассмотреть, например, вращающуюся вокруг неподвижной оси
с ортом платформу, относительно которой вокруг оси с ортом вращается тело (рис.4.17).
Введем подвижную систему отсчета, связанную с платформой.
. Тензор поворота переносного движения.
Тензор поворота относительного движения («истинный»), где - орт оси
поворота тела в отсчетном положении. Заметим, что для подвижного наблюдателя
постоянный вектор остается неподвижным и впредь. Разумеется, по (4.41),(4.42)
(4.47)
.
сч
Рис. 4.17.
При втором подходе,,
(вектор считается постоянным). Так как, то по теореме (4.19)
и, как отмечалось выше, получим (4.47).
Фундаментальные законы формулируются в инерциальных системах отсчета.
Инерциальная система отсчета - система, относительно которой изолированная от
внешних сил (одинокая во всем мире) материальная точка либо движется равномерно
и прямолинейно, либо находится в покое.
Заметим, что этим определением вводится понятие равномерного течения времени и
тем самым способ тарировки часов.
Подробное изложение рассматриваемых вопросов можно найти в книге [5].
5.1. Первый фундаментальный закон механики - закон баланса количества
движения. Открытые и закрытые тела.
