Произвольное движение твердого тела

.

.

Глава 4. Кинематика твердого тела

Скорость и ускорение при траекторном (естественном) способе описания движения.

Скорость и ускорение в цилиндрической системе координат

Вектор положения точки задается как функция цилиндрических координат r,j,z:

(3.2)

В цилиндрической системекоординат, каки в любой другой системе, вводятся базисные

векторы

(3.3)

Z

z

r Y

X

Базисные векторы направлены по касательным к так называемым координатным линиям –

линиям, получающимся при изменении только одной координаты.

Использование единичных базисных векторов удобно тем, что координаты

вектора в единичном базисе имеют ту же размерность, что и сам вектор.

Дифференцируя (3.2), получим с учетом (3.3)

= (3.4)

Дифференцируя (3.4) и учитывая, что,будем иметь

(3.5)

Упражнение 2. Найти скорость и ускорение точки, движущейся по цилиндру.

(винтовая линия)

·

Этот способ применяется, когда точка движется по заданной линии (траектории).

Уравнением задается линия, по которой движется точка; закон движения по

ней, где – дуговая координата, т.е. длина дуги со знаком.

τ

n

·

Базисные векторы вводятся следующим образом:

– единичный вектор (орт) касательной,

где - кривизна, а - единичный вектор главной нормали

–т.н. вектор бинормали

Векторы лежат в так называемой соприкасающейся плоскости – предельном при

положении плоскости, содержащей (s) и (s+. Кривизна характеризует

скорость изменения направления касательной; обратную к ней величину ρ =. называют

радиусом кривизны траектории.

Вектор скорости, где является (единственной)

проекцией вектора скорости на направление касательной и может быть любого знака.

Дифференцируя еще раз, получаем вектор ускорения

.

Производную также запишем как производную сложной функции,

Тогда, где (2.6)

- касательное (тангенциальное) ускорение,

- нормальное ускорение.

Твердым телом будем называть тело, расстояния между точками которого не изменяются в

процессе движения.

Если в качестве модели реального объекта рассматривается тело, состоящее из тел-точек,

положение которых описывается не только вектором положения, а и ориентацией (т.е. тела-

точки могут вращаться), то в определение следует добавить слова «и взаимная ориентация

не изменяется».

4.1 Кинематика плоского движения.

Плоским движением называется движение, при котором траектории (а следовательно и скорости) всех точек тела лежат в плоскостях, параллельных одной фиксированной плоскости. Таково, например, движение книги по ровному столу. Ясно, что достаточно изучить движение одного лишь сечения – плоской фигуры (одного листа книги).

4.1.1 Основная формула кинематики твердого тела.Формула Эйлера

Положение твердого тела вообще и плоской фигуры в частности описывается вектором

положения какой-либо точки А, называемой полюсом, и ориентацией, которую удобно

описывать с помощью жестко связанной с телом тройки векторов. Для простоты возьмем

ортонормированную тройку векторов, которые в отсчетном положении обозначаются

, а в актуальном в момент времени. В качестве отсчетного

положения чаще всего удобно взять положение в момент времени, тогда,

но иногда в качестве отсчетного удобнее взять положение, которое тело никогда не занимало

в прошлом и, возможно, никогда не займет в будущем.

B

B

·

j(t)

А

Рис.4.1.

При плоском движении ориентация задается одним углом j(t). Введем вектор угловой

скорости, где единичный вектор перпендикулярен плоской фигуре, а его

направление согласовано с положительным направлением отсчета угла j(t) в соответствии

с принятой ориентацией пространства. Так, в правоориентированном пространстве

направлен так, что с его с конца положительное направление отсчета угла j(t) видно происходящим против часовой стрелки, т.е. «на нас» (рис 4.1). Заметим, что независимо от выбора

положительного направления отсчета угла j(t) вектор направлен «на нас»,если фигура

в данный момент времени вращается против часовой стрелки.

Запишем очевидное равенство. (4.1)

Обозначим для краткости и разложим по актуальному базису:,

где координаты постоянные.

Разложим по отсчетному базису и продифференцируем по

времени:. Нетрудно убедиться, что = и совершенно

аналогично,откуда следует или

(4.2)

Эта формула называется формулой Эйлера и она справедлива не только для плоского, но и

для произвольного движения твердого тела.

Дифференцируя (4.1), получим с учетом (4.2) или

(4.3)

Эту формулу будем называть основной формулой кинематики твердого тела.

Слагаемое называют вращательной скоростью точки B вокруг полюса A.

Направление этого перпендикулярного к слагаемого легко получить, вращая фигуру

вокруг полюса А – отсюда и его название.

На рисунке - круговой вектор В

угловой скорости, которому

сопоставляется прямой.

А

4.1.2 Мгновенный центр скоростей и способы его нахождения.

Из основной формулы кинематики твердого тела (4.3) ясно, что если, то можно

найти такую точку P, скорость которой равна нулю – эта точка и называется мгновенным

центром скоростей.

Для определения неизвестного вектора из уравнения умножим

его слева векторно на и, раскрывая двойное векторное произведение, будем иметь

,

P

(4.4)

A

Формула (4.4) предполагает, разумеется, известными, но во многих случаях

мгновенный центр скоростей можно найти другими способами. Наиболее часто встречающимися являются случаи:

1. Тело катится без проскальзывания.

Мгновенный центр скоростей находится в точке касания · P

тела с неподвижной поверхностью.

Следующие случаи следуют из основной формулы, где в качестве полюса выбран

мгновенный центр скоростей: (4.5)

Отсюда следует, что: a) - скорость всякой точки В перпендикулярна

b) - скорость всякой точки В пропорциональна расстоянию до точки P

2. Если известна скорость одной точки A и линия, вдоль которой может быть направлена

скорость другой точки B, то мгновенный центр скоростей находится на пересечении

перпендикуляров к скоростям. В этом случае вычисляется величина угловой скорости

, определяется ее направление и, соответственно, скорость точки В (см. рис 4.2).

Если перпендикуляры не пересекаются, то (мгновенно- поступательное движение)

и скорости всех точек равны.

Если перпендикуляры слились, то мгновенный центр скоростей находится на пересечении

линии, соединяющей концы векторов скорости и общего перпендикуляра.

А A A

· B

P

B

· B

P

P B

Рис.4.2. Мгновенный центр скоростей

4.1.4. Ускорения точек твердого тела при произвольном и плоском движении

Дифференцируя основную формулу кинематики твердого тела (4.3),

получаем формулу для ускорений

Производная вектора угловой скорости по времени называется вектором углового ускорения

, слагаемое вращательное ускорение точки В вокруг полюса А,

- осестремительное ускорение. Таким образом

, где

,(4.6)

Формулы (4.6) применимы для произвольного движения. Поясним термин

«осестремительное ускорение». В теоретической механике линия, проходящая через полюс А

параллельно вектору угловой скорости,называется мгновенной осью вращения.

В

В

А

А

Нетрудно убедиться, что двойное векторное произведение направлено

к мгновенной оси вращения под прямым углом, а его модуль равен,

где h – расстояние от точки В до мгновенной оси вращения.

В случае плоского движения мгновенная ось вращения на плоском рисунке вырождается в

точку- «центр», поэтому во многих учебниках называют «центростремительным».

Векторы угловой скорости и углового ускорения перпендикулярны

плоскости движения. Раскрывая двойное векторное произведение, получим

=,так как.