Скорость изменения кинетического момента относительно неподвижной точки равна

.

Плюс скорость подвода количества движения в тело.

(5.1)

Количество движения (импульс) одной точки;

тела, состоящего из материальных точек; (5.2)

тела, занимающего какую-либо область в пространстве с непрерывно распределенной

массой (континуального тела)

. (5.3)

Скорость подвода количества движения в тело

определяется как

, (5.4)

где –присоединяющаяся к телу

за время со скоростью масса.

Тела, обменивающиеся массой со своим окружением, называются открытыми, не

обменивающимися – закрытыми. Примером открытого тела является, например

рабочее колесо турбины вместе с рабочим телом (газ, пар, вода), участок речного русла

или трубопровода, ракета. Для закрытых тел, разумеется.

Введение открытых тел - вынужденная мера в механике, поскольку нас обычно

интересует, что сейчас происходит в данном месте пространства, а проследить за историей

каждой частицы жидкости, оказавшейся в выделенном теле, практически невозможно;

частица «приходит неизвестно откуда и уходит неизвестно куда».

Для материальной точки первый ФЗМ принимает вид второго закона Ньютона

(5.5)

5.1.1. Центр масс. Теорема о движении центра масс.

Центром масс (центром инерции) тела называется точка С, вектор положения

которой задается формулой

(или, для системы точек), (5.6)

где - масса всего тела, - вектор положения элемента.

Далее будем рассматривать закрытое тело.

Перепишем определение (5.6) в виде и продифференцируем:

Получили, что количество движения (импульс) тела равен произведению массы тела

на скорость центра масс:

(5.7)

Подставляя это выражение в закон (5.1), будем иметь

,(5.8)

и, сравнивая с уравнением второго закона Ньютона, приходим к теореме о движении

центра масс: центр масс тела движется как материальная точка с массой всего тела под

действием силы, равной главному вектору внешних сил.

Если,то скорость центра масс постоянна,

Другой пример. Из школьной физики известно, что при пренебрежении сопротивлением

воздуха траектория снаряда, на которого действует сила тяжести – парабола. Из (5.8)

следует, что при его взрыве в полете центр масс разлетевшихся осколков будет

двигаться по той же траектории.

Центр масс обладает любопытным свойством: величина

(или)

- сумма произведений масс точек тела на квадраты расстояний до точки А, называемая

полярным моментом инерции тела в точке A, минимальна, если в качестве точки А взять

центр масс; иными словами, если в качестве меры расстояния принять произведение массы

на квадрат расстояния до точки, то центр масс – точка, «ближайшая» ко всем точкам тела.

Заменим квадрат модуля скалярным произведением

и, рассматривая как функцию, найдем дифференциал

.

Необходимое условие экстремума (в данном случае минимума) – равенство,

откуда вследствие произвольности получим

5.1.2. Уравнения динамики относительного движения материальной точки.

Силы инерции. Примеры.

Как уже отмечалось, уравнение 1-го ФЗМ для материальной точки имеет вид второго

закона Ньютона (точку считаем закрытым телом)

. (5.9)

По теореме о сложении ускорений,

поэтому (5.9) можем записать в виде

, (5.10)

где величины по определениюназываются соответственно переносной и кориолисовой силами инерции.

Эти силы называют Эйлеровыми силами инерции, поскольку Эйлер получил их формулы

в своих исследованиях законов движения жидкости во вращающихся каналах.

Силы инерции тождественно равны нулю в системах отсчета, движущихся поступательно

и равномерно относительно исходной инерциальной. Эти системы образуют класс

инерциальных систем отсчета.

Если наблюдатель в какой-либо системе отсчета обнаружит явления, противоречащие

законам механики, в которых движения тел зависят от воздействий со стороны других

физических тел, то либо не все воздействия учтены, либо его система отсчета неинерциальная.

Пример 1. Маятник Фуко.

Впервые публичная демонстрация была осуществлена французким физиком и астрономом

Жаком Фуко в 1851г. в Парижском Пантеоне: под куполом Пантеона он подвесил

металлический шар массой 28 кг с закреплённым на нём остриём на стальной проволоке

длиной 67м, крепление маятника позволяло ему свободно колебаться во всех направлениях,

под точкой крепления было сделано круговое ограждение диаметром 6 метров, по краю

ограждения была насыпана песчаная дорожка таким образом, чтобы маятник в своём

движении мог при её пересечении прочерчивать на песке отметки. Чтобы избежать бокового

толчка при пуске маятника, его отвели в сторону и привязали верёвкой, после чего верёвку

пережгли.

Маятник Фуко в Парижском Пантеоне

Период колебания маятника при такой длине подвеса составлял 16,4 секунд, при каждом колебании отклонение от предыдущего пересечения песчаной дорожки составляло ~3 мм, за час плоскость колебаний маятника повернулась более чем на 11° по часовой стрелке, то есть примерно за 32 часа совершила полный оборот и вернулась в прежнее положение.

Для качественного понимания причины поворота плоскости колебаний поместим

маятник на Северном полюсе и сообщим ему начальную скорость.

В инерциальной системе отсчета, в качестве которой можно взять систему, связанную с

«неподвижными» звездами, уравнение движения имеет вид

, (5.11)

где - вектор положения маятника с началом в неподвижной точке системы отсчета

(например, в центре Земли), - натяжение нити, а - гравитационное притяжение

Земли.

Ясно, что если начальная скорость лежит в Z

плоскости, то маятник не А

выйдет из постоянной в инерциальной

системе плоскости колебаний, что с точки

зрения земного наблюдателя воспринимается

как вращение этой плоскости А

по часовой стрелке с угловой скоростью.

Если же маятник находится на широте,

то плоскость колебаний вращается с

угловой скоростью. ·

Рис 5.1

Рассматривая движение маятника как сложное, состоящее из переносного вместе с

Землей и относительного, запишем уравнение в виде (5.10) –

,,

где сумма – сила тяжести на данной

широте. Решение этого уравнения даже в линейном приближении довольно громоздко, поэтому ограничимся тем, что «добавочная» сила инерции Кориолиса (- направлена перпендикулярно скорости вправо, если смотреть вслед маятнику, чем и

объясняется вращение плоскости колебаний по часовой стрелке. Заметим также, что

линейное приближение дает ту же угловую скорость вращения.

Пример 2. Отклонение снарядов (битва у Фолклендских островов).

В декабре 1914 г. произошло сражение между английской и немецкой эскадрами у

Фолклендских островов(южной широты).

По свидетельству английского морского офицера немецкие корабли обстреливались с

максимальной дистанции (порядка 15 км), причем снаряды ложились левее цели примерно

на сотню ярдов (примерно 90 м),хотя были пристреляны еще в Англии (примерно на

северной широты).

Рассмотрим полет снаряда на широте.

Z

z

y

x

Рис 5.2

Уравнение динамики относительного движения

,

где – скорость снаряда относительно Земли, - считающаяся постоянной в

в рассматриваемой области сила тяжести, - аэродинамическая сила.

Для простоты положим тогда уравнение примет вид

. (5.11)

Это линейное дифференциальное уравнение может решено точно, мы построим здесь

приближенное методом последовательных приближений.

Нулевое приближение получим, положив

, (5.12)

Первое приближение получим, подставив (5.12) в правую часть (5.11):

. (5.13)

Если ограничиться линейными членами относительно малой величины (,

то этого приближения достаточно.

Сумма - это движение тела без учета вращения Земли, слагаемое (-

объясняет отклонение падающих тел к востоку (в северном и южном полушариях);

наконец, слагаемое (- описывает отклонение снаряда вправо от направления

стрельбы в северном полушарии и влево в южном. Чтобы оценить это отклонение, будем

считать для простоты траекторию настильной, т.е.

Проинтегрируем это слагаемое и найдем проекцию вектора положения на направление оси

(вправо от направления стрельбы):

.

В южном полушарии знак отрицательный, т.к., и

снаряд отклоняется влево, поэтому при стрельбе в южном полушарии из орудия,

пристрелянного в северном, отклонение удваивается.

Точное решение уравнения (5.11) в учебниках отсутствует; возможно, причина в

громоздкости, если решать его в координатном виде. В векторном виде решение гораздо

проще.

Решение неоднородного уравнения

равно сумме решений однородного уравнения и частного решения.

Вспомнив формулу Пуассона (4.22), решение однородного уравнения

немедленно запишем в виде, где - произвольный постоянный

вектор. Частное решение найдем методом вариации произвольных постоянных

Подставив это выражение в уравнение, будем иметь

,

откуда (положили довательно,.

. Записывая и вспоминая представление Эйлера для тензора поворота

+(), получим точное решение

.

Разлагая тригонометрические функции в ряды и, удерживая члены с первой степенью,

получим приближенное решение (5.13).

5.2. Второй фундаментальный закон механики - закон баланса момента

количества движения (кинетического момента, момента импульса).