Ошибки воспроизведения типовых участков

программных траекторий.

Будем рассматривать упрощённые модели приводов подач.

.

G E X X(или Y)

(-) Kv 1/Р

G

tn~3T

T t

Х(р) Kv/p 1 1

W(p) = ¾¾ = ¾¾¾ = ¾¾¾ = ¾¾

G(р) 1+Kp/p 1+p/Kv 1+Tp

Где Kv – добротность по скорости (Кv = Kkп)

T – эквивалентная постоянная времени.

1) Воспроизведение отрезка прямой.

xn(t)

x(или y)

d x(t)

t

во времени

n

Так как G = n × t, то G(p) = ¾

p2

n 1 T T2

x(p) = G(p) = W(p) = ¾¾¾¾ = n(¾ - ¾ + ¾¾)

p2(1+Tp) p2 p 1+Tp

x(t) = n×(t – T + Te-t/T) при t>tп=3T

x(t) = n(t-T)

Þ x(t) зависит по времени от xn(t) на Т.

В режимах приводов подачи станков

Kv = 10 ± 50%, так как T=0,02 ¸ 0,1 c.

Скор о сть ошибки привода подачи:

Вс = xn(t) – x(t) = n0T

Например: при n = 6 м/мин и Т = 0,02 с.Þ Вс = 2 мин.

®

у nу ®

nк программная

j траектория

® 1

nx реальная

траектория

A Dу

2 Dх C

j

0 х

1 – изображающая точка.

2 – реальная точка

® ® ® ®

Dс = Dх+Dу, Dс – скоростная ошибка.

Найдём контурную ошибку как АВ = АС – ВС, где АВ – кратчайшее расстояние между параллельными линиями.

АС = Dу cos j

ВС = Dх sin j; так как Dх =Vk/Kvx=Vk/Kvx × cos j и

Dу = Vy/Kvy = Vк/Kvy × sin j

....

Vx = xn = x; nу = yn = y

dkL = Vk/Kvy × sin j cos j - Vk/Kvx × cos j sin j =

= Vk × (1/Kvy –1/Kvx) × (sin 2j)/2

Þ dkL = 0, если Кvx = Kvy (приводы идентичны)

б) dkLmax = Vk/2×(1/k/Vy-1/k/Vx) при j = 45°

в) Dху ¹ dкL

где Dxy – суммарная динамическая ошибка (расстояние между точками 1 и 2).

y

программная

1 траектория

к 2

j

0 х

dk2 – контурная ошибка (расстояние между прямыми).

2) Воспроизведение дуги и окружности.

Y A

nk At

1 Dt

R1 2

R2

DN

x

® ®

åдин. ош.: Dух =Dt + DN

®

Dt - продольная составляющая.

®

DN - нормальная составляющая.

Контурная ошибка:

dkR = R1 – R2

R1 – радиус программируемой окружности.

R2 – радиус рассматриваемой окружности.

___________

Из DОА2: Rz = Ö(R1+DN)2+Dt2

где Dt=Dx sin j - Dy cos j

DN=Dx cos j +Dy sin j, где Dх, Dу – динамическая ошибка по

х и у.

j=wt=Vk/R1×t

Так как Xn(t) = R1 × cos wt; Xn(t) = nx(t) = - w R1 sin wt

Yn(t) = R1 × sin wt Yn(t) = Vy(t) = w R1 cos wt

Vx(t) wR1

Þ Dx = ¾¾ = - ¾¾ · sin wt

Kvx Kvx

Vy(t) wR1

Dy = ¾¾ = ¾¾ · cos wt

Kvy Kvy

______________________________________

Найдём R2 = Ö(R1+Dx×cos j+Dy×sinj)2+(Dx sin j + Dy cos j)2 =

_______________________________

= Ö R12+Dx2+Dy2+2R1(Dx cos j+Dy sin j)

После подстановок и преобразований:

__________________________________________

R2 = R1×Ö 1+w2[cos2wt/Kvy2+sin2wt/Kvx2-sin2wt/w×(1/Kvy-1/Kvx)]

окончательно

_________________________________________

dk2 = R1×{1-Ö1+w2[cos2wt/Kvx2+sin2wt/Kvx2-sin2wt/w×(1/Kvy-1/Kvx)]

имеем

___________

dkR = R1×{1-Ö1+(Vk/(R1Kv))2} – в случае симметричных производных.

Þ dkR = 0, если 1+(Vk/(R1Kv))2 = 1, то есть

а) R1 ® ¥; б) Kv ® ¥; в) Vk ® 0

единственный

способ, наиболее

реальный

Реальная возможность повышения добротности за счёт комбинированного управления.

При воспроизведении скорости:

...

Gx = R1×cos wt Gx =... Gx =...

Þ. Þ..

Gy = R1×sin wt Gy =... Gy =...

Ошибки дискретизации входных воздействий.

Особенностью систем ЧПУ является дискретный характер выдачи на приводы исполнительных механизмов.

Это связано с цикличностью вычислений системы ЧПУ очередной точки заданной программой управления с периодом дискретности Т0.

На входе привода вместо непрерывного сигнала будет формироваться ступенчатый сигнал и появляться дополнительная погрешность.

1) Дополнительная погрешность при воспроизведении отрезка прямой вместо x (t) = n×t подаётся

[n×t0] = n×nT0, n=0, 1, 2,...

Þ Dхдоп = x[(n+1)T0] – x[nT0] =nT0

у х(t)=Vt

x[nT0]

Dx

T0 2T0 3T0 4T0 x

2) Дополнительная погрешность при воспроизведении окружности на входах приводов.

x[nT0] = R cos (w×nT0)

y[nT0] = R sin (w×nT0) где w = Vk/R

Dxyдоп = Ö(Dxдоп)2 +(Dудоп)2 = 2R sin (wT0/2) = 2R sin (Vk/R×T0/2)» Vx×T0

(при малых T0)

Так как динамическая дополнительная ошибка из – за квантов входных воздействий по времени в обоих случаях пропорциональна Vk и T0.

Þ для уменьшения Dдоп необходимо, что бы T0 стремилось к 0 (T0®0), то есть T0 = 5×10-3 сек. и менее.

Выбор периода дискретности T0 = Tk в цифровых СПУ.

1) Выбор Tk по условию обеспечения требуемой точности воспроизведения.

Допущения: а) привод безинерционный

б) привод способный воспроизвести дискретный входной сигнал, содержащий конечные разности до n-ого порядка.

Ñx[nTk] Ñ2x[nTk]

x[(n+1)Tk] = x[nTk] + ¾¾¾¾ + ¾¾¾¾ +... +

1! 2!

Ñmx[nTk]

+ ¾¾¾¾

m!

в) считаем, что с ростом m разности Ñmx[nTk] убывают, тогда ошибка экстраполяции:

Ñm+1x[nTk]

½dэ½ £ ¾¾¾¾¾

(m+1)!

В частном случае, при воспроизведении окружности с радиусом R, имеем x(t) = R sin wt, при этом

½Ñm+1x[nTk]½» R wm+1Tkm+1 следовательно:

_____________

Tk £ 1/w m+1Ö½dmax½(m+1)!/R, где ½dmax½- допустимая погрешность воспроизведения окружности.

Пример:

Если R=1 м, w=R×Vx=1 м × 0,1 м/c=0,1 с-1

½dmax½=10-4 м.

а) при m=0 (в случае экстраполятора 0-го порядка на входе привода) Tk £ 0, 001 c (1 мс).

б) при m=1 (в случае экстраполятора 1-го порядка Tk = 0, 14 c (140 мс)).

Вывод: Так как определяется не только с заданной погрешностью, но и зависит от типа (порядка) экстраполятора на входе.

Tk безинер-

УЧПУ Эm ционный

привод

2) Выбор Tk – по условию устойчивости замкнутого контура положения.

1 – е-Tkp

W0(p) = ¾¾¾

p

Э0 W(p)

(-)

в составе

УЧПУ

Частный случай, важный для практики:

Kv

W(p) = ¾¾¾¾, при этом

(1+Tp)2p

p2 [1 + (pT/Tk)2]2

Kvкрит = ¾¾ × ¾¾¾¾¾¾

4Tk [1 - (pT/Tk)2]2

где Kvкрит – критическая величина добротности по скорости при которой ЦС находится на границе устойчивости.

Если Т=0,03 с, то зависимость Кvкрит=¦(Tk)

Кvкрит, 1/c

60

40

20 10-4 10-3 10-2 10-1 1 Тк, с

-4 -3 -2 -1 0 lg Tk

Другие известные условия (приближённые) для выбора Tk.

а) Тk £ p/wc (Теорема Котельникова)

б) Tk £ 2p/2wc+w (из рассматриваемой т. Котельникова)

в) Тк £ 1/wc×2m/(m+1) m - показатель колебательности,

то есть Тк £ 1¸2/wc, если m = 1 и выше.

wс – частота среза привода W(p)

w - частота входного сигнала.

® ® ® ® ® ® ®

Fc = Fcx + Fcy = (Fрез x + Fрез y)+(Fтр x+Fтр y)

Составление ошибок от действия этих сил (вектор

® ®

Fрез противоположен по направлению вектору Vx).

Динамические ошибки.

Fрез

а) dрез х = ¾¾ · cos j