Правило умножения вероятностей

УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

Аксиоматическое определение вероятности

Пусть Ω – множество всех возможных исходов некоторого опыта (эксперимента). Согласно аксиоматическому определению вероятности, каждому событию А (А – подмножество множества Ω) ставится в соответствии некоторое число Р(А), называемое вероятностью события А, причём так, что выполняются следующие три условия (аксиомы вероятностей):

P (A) ≥ 0; (3.1)

P (Ω) = 1; (3.2)

аксиома сложения:, если, (3.3)

т.е. вероятность суммы попарно-несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Из аксиом (3.1)-(3.3) вытекают основные свойства вероятности P () = 0, т.е. вероятность невозможного события равна нулю,

2 P (A) + P () = 1.

3. 0 ≤ Р(А) ≤ 1 для любого события А.

4. Р(А) ≤ Р(В), если А Í В.

5., если и

Если множество Ω состоит из п равновозможных элементарных событий, (т.е.), то вероятность события А определяется по формуле классического определения вероятности

где m – число случаев (элементов) ω _i, принадлежащих множеству А (число благоприятствующих событию А исходов), п – число элементов множества Ω (число всех исходов опыта).

Пример. В урне содержится 5 белых и 4 черных шара, различающихся только цветом.

1) Вынимается наудачу один шар. Найти вероятность того, что он белый.

2) Вынимаются наудачу два шара. Найти вероятность того, что: а) оба шара белые; б) хотя бы один из них черный.

█ Решение. 1) Перенумеруем шары. Пространство элементарных событий можно записать в виде Ω = {Б₁, Б₂, Б₃, Б₄, Б₅, Ч₁, Ч₂, Ч₃, Ч₄}. Пусть событие А = {появление белого шара}, тогда А = {Б₁, Б₂, Б₃, Б₄, Б₅}.

Так как все элементарные исходы равновозможны, то по классическому определению вероятности.

2) При вынимании двух шаров возможны такие исходы: (Б₁, Ч₁), (Б₂, Б₃,), (Б₃, Б₂), (Ч₄, Б₅) и т.д. Число всех случаев равно.

а) Исходами, благоприятствующими наступлению события В = {по­явление двух белых шаров}, являются (Б₁, Б₂), (Б₁, Б₃), (Б₃, Б₅), (Б₃, Б₁) и т.д. Число таких случаев равно. Поэтому.

б) Исходами, благоприятствующими наступлению события С = {появление хотя бы одного черного шара}, являются (Б₁, Ч₁), (Б₁, Ч₂), (Б₁, Ч₃), (Ч₃, Б₁), (Ч₁, Ч₂), (Ч₃, Ч₄) и т.д. Число таких случаев равно (в 20 случаях из 72 появятся два белых шара (см. пункт а), поэтому в остальных случаях хотя бы один из пары шаров будет черным. Отсюда.Этот же результат можно получить иначе, т.к., то.█

Пусть А и В –некоторые события, причём Р(В) > 0. Условной вероятностью события А при условии В (обозначается Р(А | В) или P_B (A)) называется вероятностью события А, найденная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность находится по формуле

Аналогично определяется условная вероятность события В при условии А

Из этих формул следует

Теорема 4.1 (правило умножения вероятностей). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В | А) = Р(В) ∙ Р(А | В).

Понятие условной вероятности, так же как и правило умножения вероятностей естественным образом обобщаются на случай произвольного числа событий. А именно, в случае п событийимеем

P (A₁ ∙ A₂ ∙…∙ A_n) =P(A₁) ∙ P (A₂ | A₁) ∙ P (A₃ | A₁A₂) ∙…∙ P (A_n | A₁A₂ ∙…∙ A_n–1).