Оценка параметров нормального распределения случайных погрешностей

Лекция №4.

1. Точечная оценка.

Плотность распределения результатов наблюдений может быть записана в виде: ,

где М(α_i) – математическое ожидание; σ² – дисперсия.

Точечными оценками называют оценки математического ожидания и дисперсии нормального распределения случайной погрешности.

Они определяются по экспериментальным данным.

1) Оценка математического ожидания. Математическое ожидание оценивается выражением:

Свойство:

Дисперсия среднеарифметического определяется выражением: .

То есть дисперсия среднего в N раз меньше дисперсии отдельного результата наблюдения. Таким образом, она более устойчива, чем результат отдельного наблюдения.

2) Оценка дисперсии. Дисперсия отдельного наблюдения определяется выражением: .

В знаменателе стоит (N – 1), а не N, для получения несмещенной оценки дисперсии.

Дисперсия среднеарифметического определяется выражением: .

На практике обычно измеряют не дисперсию, а среднеквадратическое отклонение (СКО):

2. Интервальные оценки (доверительная вероятность и доверительный интервал).

Доверительным интервалом называется интервал, который с заданной вероятностью, называемой доверительной, накрывает истинные значения измеряемой величины. ;

где α – доверительная вероятность, характеризующая надежность полученных оценок,

(х–Δ)÷(х+Δ)-доверительный интервал, его величина выражается в долях среднеквадратической погрешности .

Связь между доверительной вероятностью и доверительным интервалом определяется распределением Стьюдента.

Распределение Стьюдента - это есть распределение случайной величины t, определяемое выражением:

.

При числе наблюдений стремящихся к бесконечности, распределение Стьюдента переходит в нормальное.

Как видно из рисунка, распределение Стьюдента определяется числом измерений, поэтому при определении погрешности рассматривают два случая.

1) число измерений больше 30. Для оценки погрешности в этом случае используют нормальное распределение. Результат измерений записывается в следующем виде:

к_α – определяется по параметру α для нормального распределения;

2) число измерений меньше 30. Для определения погрешности используют распределение Стьюдента. Результат измерения записывается в виде:

t_α(n) – называют коэффициентом Стьюдента, который табулирован по параметрами n и α.

Взаимосвязь коэффициентов при нормальном распределении и распределении Стьюдента определяется соотношением: