Теорема Ролля

1.39

Теоремы о дифференцируемых функциях.

1.19

Кулеры

Нужны для охлаждения в основном процессоров. Также существуют подобные системы для видеокарт.

Кулер состоит из двух частей - радиаторов и вентиляторов.

Более простые радиаторы представляют собой достаточно массивный кусок металла, но не цельный, а с нарезанными ребрами для увеличения площади рассеивания тепла. Используется в основном алюминий и в более продвинутых моделях - медь, так как обладает большей теплопроводностью.

В продвинутых моделях используются тепловые трубки с надетыми на них и припаянными тонкими ребрами. Тепловые трубки переносят тепло от центра (процессора) к краям. Внутри трубок находится некая жидкость, которая испаряется и переносит тепло к концам трубок, где конденсируется. Ребра нужны для охлаждения трубок. Зачастую суммарная площадь ребер очень большая.

Вентиляторы отличаются по размеру и скорости вращения. Чем больше размер и скорость вращения, тем больше воздуха он может прокачать и тем лучше он охлаждает радиатор.

Качество кулера зависит как от эффективности радиатора, так и эффективности вентилятора. Имеет смысл брать кулер на тепловых трубках и вешать на него большой вентилятор, так как в таком случае можно не задавать вентилятору больших оборотов и он будет работать достаточно тихо. Чем выше скорость вращения, тем вентилятор шумнее. Оптимальная скорость вращения - около 1000 оборотов в минуту.

Также на теплопроводность влияет плотность соприкосновения подошвы кулера с крышкой процессора. Самые лучшие кулеры имеют отполированную поверхность до почти зеркального состояния. Однако крышка процессора обычно довольно грубо обработана и для улучшения передачи тепла используется термопаста. Термопасту нужно использовать в любом случае. Разница в хорошей и плохой термопасте может достигать 5 градусов, что существенно. Особые фанаты бывает даже специально полируют крышку процессора.

Выбирать кулер лучше всего по итогам тестов в профильных изданиях. Основные производители эффективных кулеров - Noctua, Scythe (рекомендуемый вариант), Thermalright.

Стоит упомянуть о водяных системах охлаждения. Считается что они несколько тише и эффективнее.

1.49 Теорема Ферма.

Пусть функция определена и дифференцируема

на интервале (a;b) и в некоторой точке x₀ этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда.

Доказательство:

По определению производной:

.

Пусть для определенности в точке функция принимает набольшее значение. Тогда числитель.

Рассмотрим два случая:

1).

По теореме о предельном переходе в неравенствах: предел дроби меньше нуля Þ.

2).

.

Ч.т.д.

Геометрический смысл теоремы Ферма:

Так как, то угловой коэффициент касательной равен нулю Þ касательная параллельна оси ОХ.

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), причем на концах интервала принимает одинаковые значения. Тогда существует точка сÎ(a;b), значения производной в которой равно 0, т.е..

Доказательство:

b

a

Т.к. функция непрерывна на отрезке [a;b], то по II-й т. Вейерштрасса о непрерывных функциях принимает на [a;b] наибольшее М и наименьшее m значения. y

Возможны два случая:

1) М=m.

b

a

x

M

m

2) М m.

y

Хотя бы одна из точек, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значения, находится внутри [a;b].

В этом случае в указанной точке выполняются условия теоремы Ферма и, следовательно, существует точка c, принадлежащая (a;b), в которой производная.

Ч.т.д.

Геометрический смысл теоремы Ролля:

Þ К_кас=0 Þ касательная

в точке c параллельна оси ОX.

Теорема Лагранжа.

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b). Тогда существует точка cÎ(a;b), значение производной в которой равно.

Доказательство:

Введем вспомогательную функцию.

Эта функция непрерывна и дифференцируема как сумма непрерывных и дифференцируемых функций

.

Итак, для F(x) выполняются все условия теоремы Ролля.

Þ существует точка сÎ(a;b) такая, что.

.

Ч.т.д.

Геометрический смысл теоремыЛагранжа:

.

Существует точка cÎ(a;b), в которой угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту хорды, соединяющей граничные точки:

.

Найдется такая точка на графике, касательная в которой параллельна хорде, стягивающей концы отрезка [a;b].

Теорема Коши.

Пусть функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы на интервале (a;b), причем производная функции g(x) отлична от нуля, g¢(x)¹0. Тогда существует такая точка cÎ(a;b), для которой выполняется равенство:.

Доказательство:

Рассмотрим вспомогательную функцию:

.

непрерывна и дифференцируема как сумма непрерывных и дифференцируемых функций.

Итак, для F(x) выполняются все условия теоремы Ролля.

Þ существует точка сÎ(a;b):.

;.

.

.

Ч.т.д.