Основные свойства неопределённого интеграла

Геометрический смысл неопределённого интеграла.

Пусть задан неопределённый интеграл F(х) + С для функции f (х) в некотором интервале. При фиксированном значении С = С₁ получим конкретную функцию у₁ = F(х) + С₁, для которой можно построить график; его называют интегральной кривой. Изменив значение С и положив С = С₂, получим другую первообразную функцию С соответствующей новой интегральной кривой.

А
налогично можно построить график любой первообразной функции. Следовательно, выражение у = F(х) + С можно рассматривать как уравнение семейства интегральных кривых неопределённого интеграла F(х) + С. Величина С является параметром этого семейства – каждому конкретному значению С соответствует единственная интегральная кривая в семействе. Интегральную кривую, соответствующую значению параметра С₂, можно получить из интегральной кривой, соответствующей значению параметра С₁, параллельным сдвигом в направлении оси О у на величину /С₂ – С₁/. На рис. 3 изображён неопределённый интеграл х ² + С от функции f (х) = 2 х, то есть, семейства парабол.
^

1.
Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, то есть,

[ f (х) dх ]’= f (х).

Доказательство. Согласно определению неопределённого интеграла,

f (х) dх = F(х) + С, (V)

где F’(х) = f (х)

Дифференцируя обучение части равенства (V), имеем

[ f (х) dх ]’ = [F(х) + С ]’,

откуда

[ f (х) dх ]’ = F’(х) + С ¹ = F’(х) = f (х).

2.
Д ифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, то есть

d f(х)dх = f(х)dх

Д оказательство. Согласно определению неопределённого интеграла,

f (х) dх = F(х) + С

d f(х)dх = d(F(х) + С) = dF(х) = dС = F’(х)dх = f(х)dх

3.
Н еопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции F(х) равен самой функции с точностью до произвольной постоянной С, то есть

dF(х) = F(х) + С, (v)

Д оказательство. Продифференцировав оба равенства (v), будем иметь

d dF(х) = dF (х) (по свойству 2)

d (F (х) + С) = dF(х)

с ледовательно, функции dF(х) и dF (х) отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть

dF(х) = F(х) + С

4.
Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла, то есть

а f(х)dх = а f(х)dх (а¹ 0)

Д оказательство. Продифференцируем обучение части равенства. Тогда получим

d а f(х)dх = а f(х)dх (по свойству 2)

и d [ a f (х)dx ] = ad f(х)dх =а f(х)dх

(в силу свойства дифференциала)

Т аким образом, дифференциалы функций

а f (х) dх и а f (х) dх равны, а потому эти функции отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть, а f (х) dх = = а f (х) dх * dх + С. Но постоянную С можно считать включённой в состав неопределённого интеграла, следовательно,

а f (х) dх = а f (х) dх.

5.
И нтеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, например:

[ f ₁(х) + f ₂(х) – f ₃(х)] dх = f ₁(х) dх + f ₃(х) dх – f ₃(х) dх (v)

Доказательство: Продифференцируем обе части равенства.

Дифференцирование любой части равенства даёт:

d [ f ₁(х) + f ₂(х) – f ₃(х)] dх = [ f ₁(х) + f ₂(х) – f ₃(х)] dх

В результате дифференцирования правой части равенства (v), получается дифференциал алгебраической суммы нескольких функций, который как известно равен алгебраической сумме дифференциалов слагаемых функций. Следовательно,

d [ f ₁(х) dх + f ₂(х) dх – f ₃(х) dх ] =

= d f ₁(х) dх + f ₂(х) dх – f ₃(х) dх

Применяя свойство 1, в правой части последнего равенства получаем

f ₁(х) dх + f ₂(х) dх – f ₃(х) dх = [ f ₁(х) + f ₂(х) – f ₃(х)] dх

Итак, после дифференцирования обеих частей равенства (v) получены тождественные результаты, следовательно, справедлива формула (v) (см. доказательство свойства 3).
^