double arrow

Основные свойства неопределённого интеграла


Геометрический смысл неопределённого интеграла.


Пусть задан неопределённый интеграл F(х) + С для функции f(х) в некотором интервале. При фиксированном значении С = С1 получим конкретную функцию у1 = F(х) + С1, для которой можно построить график; его называют интегральной кривой. Изменив значение С и положив С = С2, получим другую первообразную функцию С соответствующей новой интегральной кривой.

А
налогично можно построить график любой первообразной функции. Следовательно, выражение у = F(х) + С можно рассматривать как уравнение семейства интегральных кривых неопределённого интеграла F(х) + С. Величина С является параметром этого семейства – каждому конкретному значению С соответствует единственная интегральная кривая в семействе. Интегральную кривую, соответствующую значению параметра С2, можно получить из интегральной кривой, соответствующей значению параметра С1, параллельным сдвигом в направлении оси Оу на величину /С2 – С1/. На рис. 3 изображён неопределённый интеграл х2 + С от функции f(х) = 2х, то есть, семейства парабол.
^

1.
Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, то есть,





[ f(х)]’= f(х) .

Доказательство. Согласно определению неопределённого интеграла,

f(х) = F(х) + С, (V)

где F’(х) = f(х)

Дифференцируя обучение части равенства (V), имеем

[ f(х)]’ = [F(х) + С ]’,

откуда

[ f(х) ]’ = F’(х) + С1 = F’(х) = f(х) .

2.
Д ифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, то есть


d f(х)dх = f(х)dх

Д оказательство. Согласно определению неопределённого интеграла,

f(х) = F(х) + С

d f(х)dх = d(F(х) + С) = dF(х) = dС = F’(х)dх = f(х)dх

3.
Н еопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции F(х) равен самой функции с точностью до произвольной постоянной С, то есть


dF(х) = F(х) + С, (v)

Д оказательство. Продифференцировав оба равенства (v), будем иметь

d dF(х) = dF(х) (по свойству 2)

d(F(х) + С) = dF(х)

с ледовательно, функции dF(х) и dF(х) отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть

dF(х) = F(х) + С

4.
Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла, то есть


а f(х)dх = а f(х)dх (а¹ 0)

Д оказательство. Продифференцируем обучение части равенства. Тогда получим

d а f(х)dх = а f(х)dх (по свойству 2)

и d [ a f(х)dx ] = ad f(х)dх =а f(х)dх

(в силу свойства дифференциала)

Т аким образом, дифференциалы функций

а f(х) и а f(х) равны, а потому эти функции отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть, а f(х) = = а f(х) * + С. Но постоянную С можно считать включённой в состав неопределённого интеграла, следовательно,

а f(х) = а f(х)dх.

5.
И нтеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, например:


[f1(х) + f2(х) – f3(х)] = f1(х) + f3(х)f3(х)(v)



Доказательство: Продифференцируем обе части равенства.

Дифференцирование любой части равенства даёт:

d [f1(х) + f2(х) – f3(х)]dх = [f1(х) + f2(х) – f3(х)]

В результате дифференцирования правой части равенства (v), получается дифференциал алгебраической суммы нескольких функций, который как известно равен алгебраической сумме дифференциалов слагаемых функций. Следовательно,

d[ f1(х) + f2(х) f3(х)] =

= d f1(х) + f2(х) f3(х)

Применяя свойство 1, в правой части последнего равенства получаем

f1(х) + f2(х) f3(х)= [ f1(х) + f2(х) – f3(х)]

Итак, после дифференцирования обеих частей равенства (v) получены тождественные результаты, следовательно, справедлива формула (v) (см. доказательство свойства 3).
^







Сейчас читают про: