Решение. Метод непосредственного интегрирования

Например.

Метод непосредственного интегрирования.

Определение. Непосредственным интегрированием называется интегрирование заключающееся в прямом применении формул таблицы основных интегралов. Чтобы найти неопределённый интеграл от какой–нибудь функции f (х), нужно прежде всего отыскать в таблице интегралов формулу в левой части которой стоит интеграл такого же вида, как данный, и записать ответ в соответствии с правой частью этой формулы.

Примеры.

1.
х ⁷ dх

Р ешение. х ⁷ dх = + С

2.
2 ³ х ² dх

Р ешение. Имеем 2 ³ х ² dх = 2 х ^2/3 dх

П рименяя формулы, получаем 2 х ^2/3 dх = 2 х ^2/3 dх = 2 + С.

Т аким образом, 2 х ^2/3 dх = х ³ х ² + С.

3)

Р ешение. Согласно известному свойству дифференциала, 3 dх = d (3х), а потому

=

Применяя формулу, получаем tg 3 х + С

В тех случаях, когда под знаком интеграла стоит алгебраическая сумма обычно разлагают данный интеграл на сумму нескольких интегралов, из которых каждый можно найти по соответствующей формуле.

3.
(2 х ³ + 9 х ² – 5 х + 4/ х) dх

Р ешение. (2 х ³ + 9 х ² – 5 х + 4/ х) dх =

= 2 х ³ dх + 9 х ² dх – 5 х ^1/2 + 4 dх / х =

= 2 + 9 – 5 + 4 * 2 х + С =

= х ⁴ / 2 + 3 х ³ – 10/3 х х + 8 х + С.

2-4

Рассмотрим один из способов сведения исходногонеопределенного интеграла к уже известным (существующим) интегралам.

Положив в, что, т.е. переменная является функцией от, тогда

получим выражения для и. Теперь подставим полученные выражения в интеграл, следовательно:

где --произвольная постоянная и функция -- обратная функция к. Такое преобразование интеграла называется интегрированием подстановкой (замена переменных).

Замечание. Последнее действие в предыдущем равенстве является обязательным, т.к. интеграл зависит от переменной, следовательно, ответ должен быть функцией от. Это операция называется - обратная замена переменных.

Общая замена переменных выглядит следующим образом:

тогда

и, используя эти равенства, добиваемся, чтобы в исходном интеграле, зависящим от, не было вхождения, т.е.

Здесь следуя предыдущему замечанию необходимо сделать обратную замену переменных. Отметим, что если изначально, например, интегрировали по, то ответ не должен содержать других переменных кроме.

Вычислить интеграл:

Сделаем замену переменных и найдем дифференциал от обеих частей, тогда

Подставляя все в исходный интеграл, получим:

где. Здесь заключительное действие - это обратная замена переменных.

В данном случае с помощью замены в интеграле удалось свести интеграл к табличному, затем была произведена обратная замена переменных и получен ответ.

Самой простой подстановкой (заменой переменных) является линейная замена, частный случай общей замены переменных.

Линейная подстановка (линейная замена) применяется для интегралов вида

Положив

получаем:

здесь -первообразная для.

Способ непосредственного интегрирования состоит в том, чтобы, применяя только свойства интегралов, свести его к табличному интегралу.