double arrow

Решение. Метод непосредственного интегрирования


Например.

Метод непосредственного интегрирования.


Определение. Непосредственным интегрированием называется интегрирование заключающееся в прямом применении формул таблицы основных интегралов. Чтобы найти неопределённый интеграл от какой–нибудь функции f(х), нужно прежде всего отыскать в таблице интегралов формулу в левой части которой стоит интеграл такого же вида, как данный, и записать ответ в соответствии с правой частью этой формулы.

Примеры.

1.
х 7


Р ешение. х7dх = + С

2.
2 3 х2


Р ешение. Имеем 2 3 х2 dх = 2х2/3

П рименяя формулы, получаем 2х2/3dх = 2 х2/3 = 2 + С.

Т аким образом, 2х2/3dх = х 3 х2 + С.

3)

Р ешение. Согласно известному свойству дифференциала, 3dх = d(), а потому

=

Применяя формулу, получаем tg3х + С

В тех случаях, когда под знаком интеграла стоит алгебраическая сумма обычно разлагают данный интеграл на сумму нескольких интегралов, из которых каждый можно найти по соответствующей формуле.

3.
( 2х3 + 9х2 – 5 х + 4/ х )


Р ешение. (2х3 + 9х2 – 5 х + 4/ х )dх =

= 2 х3 + 9 х2 – 5 х1/2 + 4 / х =

= 2 + 9 – 5 + 4 * 2 х + С =

= х4 / 2 + 3х3 – 10/3 х х + 8 х + С.

2-4

Рассмотрим один из способов сведения исходногонеопределенного интеграла к уже известным (существующим) интегралам.




Положив в , что , т.е. переменная является функцией от , тогда

получим выражения для и . Теперь подставим полученные выражения в интеграл, следовательно:

где --произвольная постоянная и функция -- обратная функция к . Такое преобразование интеграла называется интегрированием подстановкой (замена переменных).

Замечание. Последнее действие в предыдущем равенстве является обязательным, т.к. интеграл зависит от переменной , следовательно, ответ должен быть функцией от . Это операция называется - обратная замена переменных.

Общая замена переменных выглядит следующим образом:

тогда

и, используя эти равенства, добиваемся, чтобы в исходном интеграле, зависящим от , не было вхождения , т.е.

Здесь следуя предыдущему замечанию необходимо сделать обратную замену переменных. Отметим, что если изначально, например, интегрировали по , то ответ не должен содержать других переменных кроме .

Вычислить интеграл:

Сделаем замену переменных и найдем дифференциал от обеих частей, тогда

Подставляя все в исходный интеграл, получим:

где . Здесь заключительное действие - это обратная замена переменных.

В данном случае с помощью замены в интеграле удалось свести интеграл к табличному, затем была произведена обратная замена переменных и получен ответ.

Самой простой подстановкой (заменой переменных) является линейная замена, частный случай общей замены переменных.

Линейная подстановка (линейная замена) применяется для интегралов вида

Положив

получаем:

здесь -первообразная для .

Способ непосредственного интегрирования состоит в том, чтобы, применяя только свойства интегралов, свести его к табличному интегралу.







Сейчас читают про: