Извлечение корня

Возведение в степень комплексных чисел

Деление комплексных чисел

Умножение комплексных чисел

Сложение и вычитание

По аналогии со сложением и вычитанием векторов мы приходим к следующему правилу сложения и вычитания комплексных чисел:

(a ₁ + b ₁ i) + (a ₂ + b ₂ i) +...+ (a_n + b_ni) = (a ₁ + a ₂ +...+ a_n) + (b ₁+ b ₂+...+ b _n) i = a + bi

Операция введена, так как получили элемент того же множества.

Вычитание определяется как действие, обратное сложению, то есть разность x + iy = (a ₁ + b ₁ i) – (a ₂ + b ₂ i) определяется из условия:

(x + iy) + (a ₂ + b ₂ i) = (a ₁ + b ₁ i).

Из правила сложения получаем:

x + a ₂ = a ₁,
y + b ₂ = b ₁.

То есть x = a ₁ – a ₂, y = b ₁ – b ₂ и разность

(a ₁ + b ₁ i) – (a ₂ + b ₂ i) = (a ₁ – a ₂) + (b ₁ – b ₂) i.

Определение. Произведением двух комплексных чисел называется такое комплексное число, модуль которого равен произведению модулей сомножителей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей.

Это определение совершенно очевидно, если использовать показательную форму комплексного числа:

Пусть комплексные числа даны в алгебраической форме. Найдём их произведение: (a ₁ + b ₁ i) (a ₂ + b ₂ i) = x + iy.

Имеем.

Согласно определению умножения можем записать:

.

Распишем:,

,

.

Окончательно получим:

.

Отсюда следует правило умножения комплексных чисел в алгебраической форме: комплексные числа можно перемножать как многочлены.

Если z = а + b i – комплексное число, то число называется сопряжённым с числом z. Его обозначают при помощи черты над числом.

, но, следовательно,.

.

Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Если делимое и делитель даны в алгебраической форме, то правило деления таково: для того, чтобы разделить комплексное число (a ₁ + b ₁ i) на другое комплексное число (a ₂ + b ₂ i), то есть найти, нужно и числитель, и знаменатель умножить на число, сопряжённое знаменателю.

.

В результате операции получили элемент того же множества. Значит, операция деления считается введённой.

Операцию возведения в степень удобнее выполнять, когда комплексное число записано в тригонометрической или в показательной форме.

1.,

2..

Для возведения комплексного числа в степень нужно модуль возвысить в эту степень, а аргумент умножить на показатель степени.

Определение. Корнем n -ой степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n -я степень которого равна подкоренному числу.

Из этого определения следует, что из равенства следует равенство.

Из равенства комплексных чисел следует, а аргументы отличаются на число, кратное;. Отсюда,. Здесь есть арифметическое значение корня, а k – любое целое число. Таким образом, получается формула
.

В этой формуле число k может принимать всевозможные целые значения, но различных значений корня будет только n и они соответствуют значениям k = 0, 1, 2, …, n - 1.

Докажем этот факт. Действительно, правые части в этой формуле различны тогда, когда аргументы и отличаются на величину, не кратную, и будут одинаковыми, если указанные аргументы отличаются на величину, кратную. Поэтому разность

не может быть кратна. Из этого результата и следует, что любым подряд взятым n целым числам k соответствуют n различных значений корня.

Пусть теперь k ₃– целое число, не входящее в эту последовательность подряд взятых значений k. Это число можно представить в виде k ₃= gn + k_i, где g – целое число, а k_i – одно из чисел этого ряда, поэтому, то есть значению k ₃ соответствует то же значение корня, что и значению k_i.

Вывод: корень n -ой степени из комплексного числа имеет n различных значений. Исключением из этого правила является лишь частный случай, когда извлекается корень из нуля. В этом случае все значения корня равны нулю.

Пример 1. Решить уравнения а) x ² + 25 = 0, б) x ³ + 27 =0.

Решение. а), то есть первое уравнение имеет два мнимых корня: x ₁ = 5 i, x ₂ = -5 i;

б) воспользуемся формулой x ³ + a ³ = (x + a) (x ² - ax + a ²), x ³ + 27 = (x +3) (x ² - 3 x + 9). Приравнивая нулю каждый из множителей, получаем один корень действительный и два комплексных:

;

x ₂ и x ₃ – сопряжённые комплексные числа.

Пример 2. Вычислить, изобразить на плоскости, записать в тригонометрической и показательной форме:
а); б) (i) ⁱ.

Решение. а) Сначала запишем числа в алгебраической форме, выполнив

операцию деления (см. п. Деление комплексных чисел). Домножим на сопряжённое число, и, учитывая, что i ² = -1, получим:

= - 3 - 3i;

х = Re z = - 3, у = Jm z = - 3, что соответствует точке на плоскости (- 3, - 3) (см рис.3).

Модуль комплексного числа:

.

Так как точка находится в третьей четверти, то аргумент комплексного числа будет:

,

Записываем тригонометрическую и показательную формы комплексного числа:

.

б) z = i ⁱ, i = 0 + 1 · i, х = Re z = 0, у = Jm z = 1,

.

– действительное число (точка на оси ох) (см. рис. 4).

Пример 3. Вычислить.

Решение. Представим число в тригонометрической (или показательной) форме, для чего найдём его модуль и аргумент:

- 1 = - 1 + 0 · i, х = - 1, у = 0,

, k = 0, 1, 2.

k = 0,;

k = 1,

k = 2,.

3-1

Теорема. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

(2.1)

Доказательство. Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий и.

Пусть событию благоприятствуют элементарных исходов, а событию исходов. Так как события и по условию теоремы несовместны, то событию благоприятствуют элементарных исходов из общего числа n исходов. Следовательно,

,

где — вероятность события; — вероятность события.

Пример. Для отправки груза со склада может быть выделена одна из двух машин различного вида. Известны вероятности выделения каждой машины:. Тогда вероятность поступления к складу хотя бы одной из этих машин будет

P(А₁+А₂) = 0,2 + 0,4 = 0,6.

Во многих случаях вероятности появления одних событий зависят от того, произошло или нет другое событие. Например, вероятность своевременного выпуска машины зависит от поставки комплектующих изделий. Если эти изделия уже поставлены, то искомая вероятность будет одна. Если же она определяется до поставки комплектующих, то ее значение, очевидно, будет другим.

Вероятность события, вычисленная при условии, что имело место другое событие, называется условной вероятностью события и обозначается.

В тех случаях, когда вероятность события рассматривается при условии, что произошло два других события, используется условная вероятность относительно произведения событий

.