Множества и операции над множествами

Определение.Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом.

Кроме рассмотренных величин используются также так называемые абсолютные моменты:

Абсолютный начальный момент:.

Абсолютный центральный момент:.

Абсолютный центральный момент первого порядка называется средним арифметическим отклонением.

Пример. Для рассмотренного выше примера определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х.

Пример. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из нее пять раз подряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвращают обратно и шары перемешивают. Приняв за случайную величину Х число извлеченных белых шаров, составить закон распределения этой величины, определить ее математическое ожидание и дисперсию.

Т.к. шары в каждом опыте возвращаются обратно и перемешиваются, то испытания можно считать независимыми (результат предыдущего опыта не влияет на вероятность появления или непоявления события в другом опыте).

Таким образом, вероятность появления белого шара в каждом опыте постоянна и равна

Таким образом, в результате пяти последовательных испытаний белый шар может не появиться вовсе, появиться один раз, два, три, четыре или пять раз.

Для составления закона распределения надо найти вероятности каждого из этих событий.

1) Белый шар не появился вовсе:

2) Белый шар появился один раз:

3) Белый шар появиться два раза:.

4) Белый шар появиться три раза:

5) Белый шар появиться четыре раза:

6) Белый шар появился пять раз:

Получаем следующий закон распределения случайной величины Х.

х
х2
р(х)	0,0102	0,0768	0,2304	0,3456	0,2592	0,0778

При решении практических задач зачастую точно найти закон распределения случайной величины довольно сложно. Однако, все происходящие процессы, связанные со случайными величинами, можно разделить на несколько типов, каждому из которых можно поставить в соответствие какой – либо закон распределения.

Выше были рассмотрены некоторые типы распределений дискретной случайной величины такие как биноминальное распределение и распределение Пуассона.

Рассмотрим теперь некоторые типы законов распределения для непрерывной случайной величины.

4-1

Напомним основные обозначения, понятия, относящиеся к множествам, которых будем придерживаться дальше.

Начнем с основного понятия, которое встречается практически в каждом разделе математики - это понятие множества.

Множество - это совокупность, набор элементов, объединенных общими свойствами.

Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а элементы множества строчными латинскими буквами.

Запись означает, что есть множество с элементами, которые связаны между собой какой-то функцией.

Замечание. Элементы в множество входят по одному разу, т.е. без повторений.

Основные операции:

1. Принадлежность элемента множеству:

где -- элемент и -- множество (элемент принадлежит множеству).

2. Непринадлежность элемента множеству:

где -- элемент и -- множество (элемент не принадлежит множеству).

3. Объединение множеств:.

Объединением двух множеств и называется множество, которое состоит из элементов множеств и, т.е.

или

4. Пересечение множеств:.

Пересечением двух множеств и называется множество, которое состоит из общих элементов множеств и, т.е.

и

5. Разность множеств:.

Разностью двух множеств и, например, множество минус множество, называется множество, которое состоит из элементов множества, которых нет в множестве, т.е.

и

6. Симметрическая разность множеств:.

Симметрической разностью двух множеств и называется множество, которое состоит из не общих элементов множеств и, т.е.

7. Дополнение множества:.

Если предположим, что множество является подмножеством некоторого универсального множества, тогда определяется операция дополнения:

и

8. Вхождение одного множества в другое множество:.

Если любой элемент множества является элементом множества, то говорят, что множество есть подмножество множества (множество входит в множество).

9. Не вхождение одного множества в другое множество:.

Если существует элемент множества, который не является элементом множества, то говорят, что множество не подмножество множества (множество не входит в множество).