Математические методы анализа систем

Существенными свойствами систем являются наличие связей между элементами и процесс преобразования, происходящий в системе. Система считается полностью определенной, если известны элементы, связи между ними и наблюдаемые величины, используемые для описания системы. Определение системы должно учитывать ее существенные свойства. В качестве элементов могут выбираться объекты, их свойства, величины и значения величин. Следует различать элементы исходного множества, на котором строится система, и элементы системы, которые сами могут быть множествами. При формальном описании системы в качестве ее элементов обычно используются свойства и величины. Необходимо иметь в виду, что любая формализация основана на упрощениях и учитывает лишь некоторые аспекты понятия. В символьном виде система определяется как множество элементов с отношениями

, (6.1.1)

где … – множества элементов, а …– отношения, определяющие связи элементов одного или нескольких множеств, причем элементами здесь являются объекты. Вводя обозначения элементов, имеем

, (6.1.2)

где индексы независимо пробегают некоторое множество.

Приведем два определения, оперирующие величинами. В первом из них система рассматривается, как подмножество, задаваемое в пространстве величин, при этом отношение не определяется в явном виде. Второе определение рассматривает систему, как преобразователь входных величин в выходные, т.е. с точки зрения процессов, происходящих в системе. Это определение характерно для класса автоматов.

Определение 1. Системой называется отношение на непустых множествах

, (6.1.3)

где – символ декартова произведения; I – множество индексов; V_i – элементы системы. Если I конечно, то (6.1.3) принимает вид

. (6.1.4)

Пусть множества, образуют разбиение множества элементов V, при этом выполняются соотношения Æ и. Множество называется входным элементом (входом), а – выходным элементом (выходом) системы. Тогда система называется системой “вход – выход”. Если S является функцией, то соответствующая система называется функциональной. Связь между входом и выходом системы может задаваться в виде обычной функции, оператора или матрицы.

Определение 2 (для системы с конечным числом состояний). Система определяется в виде кортежа (упорядоченного набора элементов)

, (6.1.5)

где X – множество допустимых входов; Y – множество допустимых выходов; – множество допустимых состояний, – функция перехода из одного состояния в другое, – функция выхода.

Таким образом, система формально определяется в терминах ее наблюдаемых величин и взаимосвязей между ними, при этом их конкретная интерпретация может быть различной. Это отражает суть системного подхода, направленного на выяснение организации и взаимосвязей элементов систем вне зависимости от их природы.

Приведенные определения допускают обобщение на нечеткий случай. Нечеткая система определяется выражениями вида (6.1.1) – (6.1.5), в которых – нечеткие множества, – нечеткие отношения, – нечеткие функции. Нечеткое множество определяется в виде, аналогично задаются нечеткое отношение и нечеткая функция.

Аксиоматический подход к понятию сложности. Понятие сложности является многоаспектным. В разделе 3.2.2 рассматривалась вычислительная сложность. В общем случае сложность системы не может быть измерена в абсолютной мере, а только в шкале порядка, т.е. с точностью до монотонного преобразования. Однако для класса систем, относящихся к автоматам, можно определить понятие сложности с помощью аксиом таким образом, что оказывается возможным ее измерение в шкале отношений. Для структурной сложности имеют место следующие аксиомы:

1. Иерархия.

Если, то, т.е. сложность подсистемы не может быть больше, чем сложность всей системы.

2. Параллельное соединение.

Если, то, т.е. при параллельном соединении подсистем сложность суммарной системы определяется наиболее сложной ее частью.

3. Последовательное соединение.

Если, то, т.е. сложность системы не больше суммарной сложности подсистем.

4. Соединение с обратной связью.

,

где – сложность обратной связи из в _.

5. Нормализация.

для всех, т.е. в множестве систем существует подмножество “элементарных” систем, сложность которых равна нулю.

Здесь предполагается, что измерение сложности проводится в шкале отношений с одной степенью свободы и фиксированным нулем, т.е. результат измерения выражается числом. В качестве меры сложности в этом случае можно выбрать, например, число элементов в системе или число отношений между элементами.

Приведенных аксиом оказывается достаточно для определения мер структурной сложности систем, задаваемых различными способами. Для систем с конечным числом состояний эти аксиомы однозначно определяют меру сложности, причем их количество является минимальным. Эти аксиомы также удобны при алгебраическом подходе к анализу и оценке сложности.

Рассмотрим применение аксиом для оценки сложности систем с различной структурой. Для последовательно-параллельной структуры, состоящей из последовательных уровней, на каждом из которых имеется соответственно параллельных элементов, сложность определяется выражением

, (6.1.6)

где – сложность элемента первого уровня и т.д.

Для сетевых структур сложность оценивается с помощью второй и четвертой аксиом. Например, сложность сетевой структуры, состоящей из элементов, в которой каждый элемент связан со всеми другими (многоугольник с диагоналями), определяется выражением

, (6.1.7)

где – сложность элемента, – сложность связи элементов и.

Сложность поведения, вообще говоря, не определяется приведенными выше аксиомами. Аксиома иерархичности может нарушаться, если при переходе от системы к подсистеме или наоборот меняется тип поведения. Аксиома нормализации не может быть установлена, так как измерение сложности поведения осуществляется в шкале порядка. Имеет место аксиома типовой сложности

, (6.1.8)

где индекс (1) относится к детерминированному поведению, индекс (2) – к случайному, индекс (3) – к нечеткому.

Можно подойти к определению сложности поведения формально, т.е. считать, что, чем сложнее структура системы, тем сложнее ее поведение. Тогда в пределах типа могут быть сохранены аксиомы, сформулированные для сложности структуры, однако они не являются вполне адекватными. Если тип поведения меняется при переходе от системы к подсистемам или наоборот, то происходит скачкообразное изменение сложности.

Аксиоматический подход может быть реализован для класса автоматов в пределах детерминированного типа поведения. В качестве систем с «элементарным» поведением в этом случае можно выбрать одношаговую детерминированную машину Тьюринга, а в качестве меры сложности поведения системы – функцию преобразования. Распространение аксиом на другие типы поведения (случайное и нечеткое) довольно проблематично.

Глоссарий

Термин	Что обозначает?
Автомат	Система, в которой входы и выходы заданы
Аналогия	Сходство нетождественных объектов в некоторых признаках, сторонах
Гомология	Подобие моделей (законов) объектов (процессов) в разных областях
Дедукция	Способ рассуждения (вывод) от общего к частному
Индукция	Метод рассуждения (вывод) от частного к общему, от частей к целому
Модус поненс	Заключение от истинности основания к истинности следствия
Модус толленс	Заключение от отрицания следствия к отрицанию основания
Парадигма	Совокупность методологических предпосылок, определяющих выбор проблем и являющихся моделью, образцом для решения задач
Подсистема	Часть системы, рассматриваемая как система
Ранжирование	Расположение систем или их элементов в определенном порядке
Редукция	Метод приведения сложного к более простому, целого к части, восстановление начального состояния объекта по конечному
Синтез	Метод (процесс) объединения частей в единое целое
Система	Множество элементов, между которыми имеется взаимосвязь (взаимодействие)
Элемент	Любая часть системы

1 Слово «автомат» происходит от греческого «αυτοματος» - сам собою движущийся, сам собой случающийся, сам собой.

1 Модус поненс (от лат. Modus ponens) – заключение от истинности основания к истинности следствия.

2 Модус толленс (от лат. Modus tollens) – заключение от отрицания следствия к отрицанию основания.