Расстояние от точки до прямой

Рассмотрим прямую L и проведем перпендикуляр ОР к ней из начала координат (предполагаем, что прямая не проходит через начало координат). Пусть n – единичный вектор, направление которого совпадает с ОР. Составим уравнение прямой L, в которое входят два параметра: р – длина отрезка ОР и α – угол между ОР и Ох.

Для точки М, лежащей на L, проекция вектора ОМ на прямую

ОР равна р. С другой стороны, пр_nOM=n·OM. Поскольку

n ={cos α, sin α }, a OM ={ x,y }, получаем, что

x cosα + y sinα = p, или x cosα + y sinα - p = 0 - (7.20)

- искомое уравнение прямой L, называемое нормальным

уравнением прямой (термин «нормальное уравнение» связан

с тем, что отрезок ОР является перпендикуляром, или нормалью, к данной прямой).

Определение 7.2. Если d – расстояние от точки А до прямой L, то отклонение δ точки А от прямой L есть число + d, если точка А и начало координат лежат по разные стороны от прямой L, и число – d, если они лежат по одну сторону от L.

Теорема 7.1. Отклонение точки А(х₀,у₀) от прямой L, заданной уравнением (7.20), определяется по формуле:

. (7.21)

Доказательство.

Проекция OQ вектора ОА на направление ОР равна

n·OA =x₀ cosα + y₀ sinα.

Отсюда

δ = PQ=OQ-OP=OQ-p = x₀ cosα + y₀ sinα - p,

что и требовалось доказать.

Следствие.

Расстояние от точки до прямой определяется так:

(7.22).

Замечание. Для того, чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду, нужно умножить его на число , причем знак выбирается противоположным знаку свободного члена С в общем уравнении прямой. Это число называется нормирующим множителем.

Пример. Найдем расстояние от точки А (7,-3) до прямой, заданной уравнением 3 х + 4 у + 15 = 0.

А ² + B ²=9+16=25, C =15>0, поэтому нормирующий множитель равен

-1/5, и нормальное уравнение прямой имеет вид: Подставив в его левую часть вместо х и у координаты точки А, получим, что ее отклонение от прямой равно