double arrow

Перпендикулярности плоскостей

Угол между плоскостями. Условия параллельности и

Если две плоскости (α1 и α2) заданы общими уравнениями вида:

A1x+B1y+C1z+D1 =0 и A2x+B2y+C2z+D2 =0,

то очевидно, что угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами n 1={ A1,B1,C1) и n 2={ A2,B2,C2). Из формулы (5.6) получаем, что косинус угла между плоскостями α1 и α2 равен

(8.4)

Условие параллельности плоскостей заключается в параллельности нормалей:

(8.5)

а условие перпендикулярности плоскостей – в перпендикулярности нормалей или равенстве нулю их скалярного произведения:

A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0. (8.6)

Выведем еще несколько уравнений плоскости. Пусть плоскость проходит через точки М 1(х1, у1, z1), M 2(x2, y2, z2) и M 3(x3, y3, z3), не лежащие на одной прямой. Тогда векторы М1М 2 ={ x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1 }, М1М 3 ={ x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1М1М ={ x - x1, y - y1, z - z1 }, где М(x, y, z) произвольная точка плоскости, компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю.

Используя координатную запись смешанного произведения, получаем:

(8.7)

Это уравнение, которому удовлетворяют координаты х, у, z любой точки, лежащей на искомой плоскости, является уравнением плоскости, проходящей через три данные точки.

Способом, аналогичным изложенному в разделе прямой на плоскости, можно получить нормальное уравнение плоскости:

(8.8)

где р – длина перпендикуляра ОР, опущенного из начала координат на плоскость, а cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы нормали к этой плоскости.

При этом расстояние от любой точки А пространства до данной плоскости определяется по формуле:

, (8.9)

где x0,y0,z0 – координаты рассматриваемой точки А. Подмодульное выражение в формуле (8.9) называется отклонением точки А от плоскости и принимает положительные значения, если А и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и отрицательные, если эти две точки лежат по одну сторону от плоскости. Нормальное уравнение получается из общего уравнения плоскости в результате деления его на нормирующий множитель знак которого противоположен знаку D.

Доказательства всех сформулированных утверждений полностью аналогичны исследованию нормального уравнения прямой на плоскости, рассмотренного в разделе прямой на плоскости.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: