Рассмотрим различные виды уравнений прямой на плоскости.
Пусть прямая проходит через точку М0 (x0,y0) перпендикулярно вектору n = {A,B }. Тогда вектор , где М(х,у) – произвольная точка прямой, ортогонален n. Поэтому координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению
А (х – х0) + В (у – у0) = 0 - (7.3)
уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
Замечание. Вектор n называется нормалью к прямой.
Преобразуем уравнение (7.3) к виду:
Ах + Ву + (-Ах0 – Ву0) = 0.
Обозначив -Ах0 – Ву0 = С, получим общее уравнение прямой:
Ах + Ву + С = 0. (7.4)
Получим теперь уравнение прямой, проходящей через точку М0 (x0,y0) параллельно вектору q = {l,m }. Так как вектор , где М(х,у) – произвольная точка прямой, коллинеарен q, координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению
, (7.5)
называемому каноническим уравнением прямой. Вектор q при этом называется направляющим вектором прямой. В частности, если прямая проходит через точки М1(х1,у1) и М2(х2,у2), ее направляющим вектором можно считать , и из уравнения (7.5) следует:
|
|
- (7.6)
уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.
Пример.
Составим уравнение прямой, проходящей через точки М (1,2) и N (5,-3). Уравнение (7.6) примет вид:
- общее уравнение данной прямой.
Обозначив за t значения равных дробей, стоящих в левой и правой частях уравнения (7.5),
можно преобразовать это уравнение к виду:
x = x0 + lt, y = y0 + mt - (7.7)
параметрические уравнения прямой.
Для прямой l, не параллельной оси Оу, можно ввести так называемый угловой коэффициент k – тангенс угла, образованного прямой и осью Ох, и записать уравнение прямой в виде:
у = kx + b - (7.8)
уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Действительно, все точки прямой l 1, параллельной l и проходящей
через начало координат, удовлетворяют уравнению у = kх, а
ординаты соответствующих точек на прямой l отличаются от них
на постоянную величину b.