Первый замечательный предел. Глава 4. Предельные переходы в неравенствах

Глава 4. Предельные переходы в неравенствах. Замечательные пределы.

Теорема. Если функция неотрицательна в окрестности точки x ₀, то и ее предел при x®x ₀ тоже величине неотрицательная

. (3.9)

Доказательство ведем методом «от противного».

Предположим, что A < 0, т.е. – A > 0. В определении предела подразумевается, что в качестве ε можно выбрать любое положительное число. Возьмем , по нему найдем зависящее от e положительное число d(e) > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству ½ x₀ - х ½< d, справедливо . Раскроем модульное неравенство

Рассмотрим правую часть неравенства и перенесем А направо. Получим

или

.

Это означает, что функция отрицательна, что противоречит условию теоремы.

Следствие. Если f (x) < g (x), то и. (3.10)

. (3.11)

Построим тригонометрический круг с радиусом ОА = 1. Прямая DA – ось тангенсов. Возьмем на окружности точку В. Радиус ОВ = 1. Соединим точки А и В. Угол ВОА равен х, ВС = sin x, DA = tgx (рис. 4.1)

Предположим, что x > 0. Для x < 0 доказательство аналогично.,

Площадь треугольника ВОА

.

Рис. 4.1. Первый замечательный предел.

Площадь сектора ВОА

.

Площадь треугольника DОА

.

Из чертежа следует, что для площадей выполняется соотношение

т.е.

Сократим общий множитель ½ и разделим на sin (x). Получим

Или, для обратных величин

Так как , то и . Что и требовалось доказать.

Следствие: (3.12)