Пример 3. Найти область определения функции

Глава 1. Функции. Основные определения.

Пусть даны два числовые множества X и Y с элементами x и y соответственно X={ x }, Y={ y }. Мы говорим, что задана функция, если каждому числу x из множества Х по определенному закону сопоставлено число у из множества Y. Запись

y = f (x). (1.1)

Множество Х называется областью определения функции (обозначается D(f)), множество Y – областью изменения. Если каждому х сопоставлено единственное у, то мы говорим, что функция однозначна, если каждому х сопостовляется несколько у, то функция называется многозначной.

Если каждому у по определенному закону сопоставлено число х, то мы говорим, что задана обратная функция

x = f ^-1 (y). (1.2)

Для обратной функции множество Y является областью определения функции, а множество Х – областью изменения.

Основными способами задания функции являются:

1. аналитический, когда функция задается при помощи математических знаков и их комбинаций, например

y = sin (x);

2. графический, когда функция задается с помощью графика, например

3. табличный, когда функция задается таблицей или списками пар, например

(1,2); (2,5) (4,2)….

При такой записи первое число это х, а второе у.

Если область определения функции симметрична относительно оси Y, то можно ввести понятия четности и нечетности функции. Четной называется функция удовлетворяющая условию

f (- x) = f (x). (1.5)

График такой функции симметричен относительно оси Y. К четным функциям относятся, например, y = cos (x).

Нечетной называется функция удовлетворяющая условию

f (- x) = - f (x). (1.6)

График такой функции симметричен относительно начала координат. К нечетным функциям относятся, например, y = sin (x).

Функция называется возрастающей (убывающей), если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции, т.е.

возрастающая функция

убывающая функция.

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями.

Число х₀ называется корнем функции, если

f (x ₀) = 0.

Например, lg (x) = 0 при х ₀ = 1.

Если функция задана на всей оси, т.е. область определения функции , то периодом функции называется наименьшее из чисел Т, удовлетворяющее условию

f (x + Т) = f (x) = f (x - Т). (1.7)

Пример 1. Найти область определения функции

Решение. Если числовая функция задана аналитически и область ее определения не указана, то считают, что эта область есть множество всех действительных значений аргумента, при которых выражение - действительное число. Для существования заданной функции необходимо, чтобы имело место неравенство . Для существования функции должно иметь место неравенство , откуда . Область определения исходной функции или .

Пример 2. Найти область определения функций:

Решение. Для приведенных выше функций области определения удовлетворяют условиям:

Следовательно,

;

Решение. Для существования функции необходимо, чтобы . Для существования функции надо, чтобы , откуда . Для существования функции необходимо, чтобы , откуда и .

Таким образом, получены условия

Пример 4. Найти область определения функции

Решение. Так как , то

Решив неравенство, найдем область определения функции

Применим метод интервалов (рис. 1.1)

1.
^{1/3 1}	.
2.
^{-1 1}	.
Рис. 1.1.

Система неравенств имеет решение .

Следовательно, .

Пример 5. Определить, являются ли функции

1. ;

2. 2. ;

3. ;

четными или нечетными.

Решение. Для определения свойств четности или нечетности функции следует проверить выполнение следующих положений:

1. Является ли область определение симметричной относительно начала координат, т.е. если , то и ;

3. Выполняются ли равенства или . При выполнении первого равенства функция окажется четной с графиком, симметричным относительно оси ординат, во втором – нечетной с графиком, симметричным относительно начала координат.