2014-02-09
497
Пример
Для заданной схемы нагружения стержня (рис. 43) построить эпюру продольной силы N(z) при следующих исходных данных: q=10 кН/м, l=1м.
Рис. 43
Решение
1. Совместим начало системы координат с левым концом стержня и направим координатную ось z вдоль его продольной оси.
В соответствии со схемой нагружения разделим стержень на три участка и запишем уравнение продольных сил следующим образом:
N (z) = N (0) - 2q·z│1+2q (z - l) │2 + q (z - 2l) │3.
В этом уравнении приняты следующие обозначения:
N(0) – значение продольной силы в начале координат (реакция опоры),
z – координата сечения, в котором определяется значение продольной силы.
Для решения задачи необходимо определить одну неизвестную величину – N(0). Для этого запишем граничное условие: N (3l) = 0.
Напомним, что граничные условия – это известные значения интегральных характеристик в какой-либо точке стержня.
Для определения неизвестной реакции N(0) необходимо приравнять уравнение продольных сил к нулю, подставив в нем вместо координаты «z» координату «3l»:
N (0)-2q (3l) + 2q (3l – l) + q (3l – 2l) = 0.
Решая это уравнение, найдем: N (0) = 10 кН.
2. Построение графика продольных сил.
При построении графиков уравнение рассматривается на каждом участке в отдельности и вместо координаты «z» подставляется соответствующая координата начала и конца рассматриваемого участка.
1 участок - 0 ≤ z ≤ l:
N (0) =10 кН,
N (l) = 10 – 2·10·1 = -10 кН.
2 участок - l ≤ z ≤ 2l:
N (l) = 10 – 2·10·1 + 2·10(l – l) = -10 кН,
N (2l) = 10 – 2·10·2 + 2·10(2 – 1) = -10 кН.
3 участок - 2l ≤ z ≤ 3l:
N (2l) = 10 – 2·10·2 + 2·10(2 – 1) + 10(2 – 2) = -10 кН,
N (3l) = 10 – 2·10·3 + 2·10(3 – 1) + 10(3 – 2) = 0 кН.
По рассчитанным значениям строится график продольной силы (см. рис. 43).
Пусть стержень нагружен произвольной крутящей нагрузкой. Вырежем на некотором расстоянии z бесконечно малый элемент dz (рис. 44). На данный элемент действует внешняя нагрузка и внутренние крутящие моменты в сечениях, по которым вырезан элемент.
Составим уравнение равновесия вырезанного элемента.
- Мк + mz×dz + Мк + dМк = 0,
,
Мк’ + mz = 0. (94)
Рис.44
Решение данного дифференциального уравнения с правой частью состоит из двух частей общего и частного решения и имеет вид
Mк(z) = C - 
. (95)
Определим физический смысл постоянной интегрирования. При z=0
Мк(0) = C.
Значение интеграла зависит от внешней приложенной нагрузки. Рассмотрим значения нагрузочных функций для наиболее часто встречающихся нагрузок.
а) сосредоточенный момент (рис. 44):
 |
Рис.44
при z£a Фм(z)=0
при z³a Фм(z)=-L
|
б) распределенная нагрузка (рис. 45):
 |
Рис. 45
при z£c Фм(z)=0
при z³c Фм(z)=-m(z-c)
