2014-02-09
558
Пример
Для приведённой схемы нагружения прямого стержня (рис. 46) построить эпюру крутящего момента при следующих исходных данных:
mz = 10 кН/м, L = 10 кНм, l = 1 м.
Решение
В соответствии со схемой нагружения запишем уравнение крутящего момента в следующем виде:
Mk (z) = Mk (0) │1 - L│2 - mz(z-2l) │3 .
Исходя из условий закрепления стержня, запишем следующее граничное условие: Mk (0) = 0 (реакция незакреплённого конца стержня равна нулю).
 | |||
Рис. 46
Таким образом, записанное уравнение не содержит неизвестных величин и можно приступать к построению графика. Построение графика будем производить аналогично построению графика в примере 1.
1 участок - 0 ≤ z ≤ l:
Mk (0) = 0 кНм,
Mk (l) = 0 кНм.
2 участок - l ≤ z ≤ 2l:
Mk (l) = 0 – 10 = -10 кНм,
Mk (2l) = 0 – 10 = -10 кНм.
3 участок - 2l ≤ z ≤ 3l:
Mk (2l) = 0 – 10 – 10(2 – 2) = - 10 кНм,
Mk (3l) = 0 – 10 – 10(3 – 2) = -20 кНм.
По рассчитанным значениям строится график крутящего момента (см. рис. 46).
Пусть стержень нагружен произвольной поперечной нагрузкой. Вырежем на некотором расстоянии z бесконечно малый элемент dz (рис. 47). На данный элемент действует внешняя нагрузка и внутренние поперечные силы и изгибающие моменты в сечениях, по которым вырезан элемент.
|
|
|
 | |||
 |
Рис. 47
Составим уравнения равновесия вырезанного элемента.
Уравнение равновесия всех сил на вертикальную ось.
- Qy + qy×dz + Qy + dQy = 0,
,
Qy' + qy = 0. (96)
Уравнение равновесия моментов относительно центра тяжести правого сечения вырезанного элемента.
- Мх + qy×dz×dz/2 + Мх + dМх - Qy×dz = 0,
Слагаемое, выражающее момент от распределенной нагрузки – слагаемое второго порядка малости, поэтому им можно пренебречь
,
Мх' = Qy. (97)
Объединяя дифференциальные уравнения (96) и (97), получим:
Мх'' = - qy (98)
Решение данного дифференциального уравнения с правой частью состоит из двух частей общего и частного решения и имеет вид
Мх(z) = C1+С2z – Фм,
где Фм – частное решение, отражающее внешнюю приложенную нагрузку.
Определим физический смысл постоянных интегрирования. При z=0
Мх(0) = C1,
Мх' (0) = Qy(0) = С2.
Рассмотрим подробнее частное решение. Пусть стержень нагружен произвольной распределенной нагрузкой (рис. 48). Определим величину поперечной силы и изгибающего момента для точки с координатой z.
 |
Рис. 48
Qy = 
,
Мх = 
. (99)
Значения интегралов зависят от внешней приложенной нагрузки. Рассмотрим значения нагрузочных функций для наиболее часто встречающихся нагрузок.
а) сосредоточенная сила (рис. 49):
 |
Рис. 49
при z£a ФQ(z)=0
ФМ(z)=0
при z³a ФQ(z)=-P
ФМ(z)=-P(z-a)
|
|
|
б) распределенная нагрузка (рис. 50):
 |
Рис. 50
при z£c ФQ(z)=0
ФМ(z)=0
при z³c ФQ(z)=-q(z-c)
ФМ(z)=-q(z-c)2/2
в) сосредоточенный момент (рис. 51):
 |
Рис. 51
при z£b ФQ(z)=0
ФМ(z)=0
при z³b ФQ(z)=0
ФМ(z)=-L
