Понятие производственной функции. Функция Кобба-Дугласа как пример производственной функции

Проверка адекватности уравнения регрессии

Проверка значимости или адекватности уравнения регрессии проводится по – критерию, значение которого вычисляется по формуле:

,

где – дисперсия, характеризующая отклонение линий регрессии от фактических значений y (дисперсия регрессии или дисперсия, обусловленная регрессией); – общая дисперсия, характеризующая отклонение реализаций y, вызванное случайностью y:

Полученное значение F сравнивают с табличным значением критерия, взятым из таблиц F – распределения при заданной доверительной вероятности. Уравнение регрессии значимо и может быть использовано для практических выводов, если.

К характеристикам качества уравнений регрессии относится и оценка точности аппроксимации.

Точность аппроксимации оценивается в процентах ошибкой аппроксимации, которая вычисляется по формуле

Точность аппроксимации принято считать удовлетворительной при <10 20%. Точность аппроксимации также может быть оценена величиной остаточной дисперсии. Чем меньше, тем выше точность аппроксимации, поэтому лучшей следует признать такую линию регрессии, которая даёт наименьшее значение по сравнению с другими опробованными линиями.

Для подбора вида линии регрессии можно использовать и корреляционное отношение: чем больше его значение, тем точнее аппроксимация.

Так как регрессионный анализ делается для конкретной выборки результатов наблюдений, то оценка качества уравнений регрессии зависит и от величины объёма этой выборки, числа полученных значений каждого из факторов и результативного признака.

При этом, чем больше факторов учитывается, тем больше должен быть и объём выборки. Минимально доступный объём выборки, при котором оценка уравнения регрессии может быть использована для практических выводов, как уже упоминалось,

Регрессионный анализ находит своё применение во многих областях, в том числе при изучении так называемых производственных функций. Они относятся к описательным (дескриптивным) моделям производства и потребления, которые, в свою очередь, относятся к моделям экономических процессов на уровне народного хозяйства в целом.

Производственной функцией называется соотношение описывающее зависимость объёмов выпуска продукции от величины ресурсов,, …,.

На народнохозяйственном (макроэкономическом) уровне неосуществимо точное математическое описание этой зависимости, поэтому разработка производственной функции требует выделения наиболее существенных факторов и максимального упрощения их связей. В качестве факторов-аргументов,,…, обычно выступают трудовые ресурсы, производственные фонды, используемые земельные площади и другие.

Производственные функции являются, как правило, уравнениями регрессии, полученными в результате статистической обработки данных о величине затрат ресурсов и выпуска продукции.

В качестве примера производственной функции можно привести производственную функцию Кобба-Дугласа, имеющую вид:.

В функции Кобба-Дугласа y означает величину общественного продукта; – затраты труда; – объём производственных фондов;,. Заметим, что степенные производственные функции вида (или же в сокращённой записи) являются наиболее типичными.

Важную роль в экономическом анализе играет ряд специальных показателей, полученных на основе производственной функции:

– средняя удельная эффективность использования ресурса. Этот показатель представляет собой среднее количество продукции, приходящееся на единицу i -го ресурса:

.

Для функции Кобба-Дугласа – это средняя производительность труда, – средняя фондоотдача.

– предельная эффективность использования ресурсов. Экономический смысл показателя предельной эффективности состоит в том, что он показывает, сколько дополнительных единиц продукции может принести дополнительная единица определённого ресурса:

.

– коэффициент эластичности выпуска продукции от затрат различных ресурсов. Он показывает, на сколько процентов может увеличиться объём производства при увеличении затрат того или иного ресурса на 1%:

.

Производственная функция в виде произведения степенных функций обладает многими достоинствами: включает небольшое число имеющих явный экономический смысл параметров, имеет производные высших порядков, в большинстве случаев удовлетворительно выравнивает эмпирические данные, весьма удобна для оценки параметров (в частности, благодаря тому, что является линейной относительно логарифмов:). Эта функция включает только безусловно необходимые ресурсы. Если какой-либо, то. Параметр интерпретируется как показатель общей эффективности ресурсов.

В макроэкономических исследованиях производственная функция была впервые применена К. Коббом и П. Дугласом (США) в 20-х годах XX в. для изучения связей между общим объёмом общественного продукта (национального дохода) и двумя важнейшими факторами производства – рабочей силой и основными производственными фондами. Построенная ими производственная функция имела вид:, где – затраты труда, – затраты производственных фондов или капитала, при этом (производственная функция в этом случае, как говорят, однородна).

Макроэкономические производственные функции применяются как инструмент прогнозирования объёма валового общественного продукта, конечного продукта и национального дохода для анализа сравнительной эффективности основных факторов экономического роста.

Важнейшим условием роста производства и производительности труда является увеличение фондовооружённости труда. Так, при условии из производственной функции Кобба-Дугласа получаем следующее соотношение между производительностью труда и фондовооружённостью труда. Поскольку имеем, то производительность труда растёт медленнее фондовооружённости. Этот вывод (как и многие результаты анализа, проводимого на основе рассматриваемых производственных функций) всегда справедлив только для статического случая, т.е. в рамках существующих технических условий и качественных характеристик используемых ресурсов.

Параметры макроэкономических производственных функций обычно определяются путём обработки динамических рядов и поэтому отражают влияние научно-технического прогресса и других факторов интенсификации общественного производства. По этой причине сумма коэффициентов эластичности (степень однородности) в построенных производственных функциях, как правило, больше единицы. И вообще, с производственными функциями нужно быть осторожнее, т.к. они не отражают кризисные явления (кризис в США 1929-34 г.г. не был предсказан этими функциями), носят описательный характер.

Производственные функции применяются не только в макроэкономических расчётах на уровне народного хозяйства, но и на уровне предприятий. Частными случаями производственной функции можно считать функции издержек (зависимость объёма выпуска продукции от издержек производства), функции капитальных затрат (зависимость потребных инвестиций от производственной мощности предприятий) и другие.