Основной принцип помехоустойчивого кодирования

Пусть имеется простой двоичный код, с помощью которого можно передать кодовых комбинаций. Из этого числа N используют лишь кодовых комбинаций.

- число разрешенных кодовых комбинаций.

- число запрещенных кодовых комбинаций.

Для исключения возможности перехода одной разрешенной комбинации в другую разрешенную кодовую комбинацию выполняется соотношение .

Так как в помехоустойчивом коде число разрешенных кодовых комбинаций меньше общего числа кодовых комбинаций, возможных для двоичного кода данной разрядности, то помехоустойчивые коды называют еще избыточными кодами.

Избыточность кода можно оценить выражением:

(7.3)

- число избыточных символов в переданной кодовой комбинации.

Декодирование избыточных кодов можно осуществить двумя способами:

1. Декодирование с обнаружением ошибок.

2. Декодирование с исправление ошибок.

В первом случае устанавливается только факт приема запрещенной кодовой комбинации. При этом дальнейшая обработка принятых сигналов может быть организована следующим образом: 1) ошибочная кодовая комбинация либо уничтожается, и теряется информация, переданная в исходной кодовой комбинации; 2) запрашивается повторная передача исходной кодовой комбинации до тех пор, пока она не будет принята без ошибки. Это не всегда возможно при обработке сигналов в режиме реального времени, так как затягивает общее время передачи.

Во втором способе декодирования принятые запрещенные кодовые комбинации преобразуются в переданные разрешенные кодовые комбинации. При этом чаще всего процедура декодирования основывается на критерии максимального правдоподобия. Каждая принятая кодовая комбинация сопоставляется с каждой разрешенной кодовой комбинацией. Та из них, которая меньше всего отличается от принятой кодовой комбинации и принимается за принятую кодовую комбинацию.

Рассмотрим это на примере. Пусть . Тогда N =8, но используется всего кодовые комбинации, а именно 000 и 111. Каждой из этих разрешенных кодовых комбинаций соответствует своя группа запрещенных кодовых комбинаций

а) б)

Если принята одна из запрещенных кодовых комбинаций группы а), то наиболее вероятно, что была передана разрешенная комбинация 000, а если из группы б), то передана комбинация 111.

Введение избыточных символов позволяет существенно увеличить вероятность правильного приема.

Для двоичного симметричного канала передачи вероятность ошибочного приема любых l символов в n -элементной кодовой комбинации подчиняется биномиальному закону распределения

P _n(l)= C_n^lp^l (1- p) ^n-l.

Неправильный прием одного, двух, и т.д. элементов из n-элементной кодовой комбинации обозначают термином «одиночная», «двойная» и т. д. ошибка соответственно. Или говорят, что произошла ошибка кратности l.

Если код исправляет ошибки кратности t, то вероятность ошибочного приема кодовой комбинации равна

. (7.4)

Пусть исправляется ошибка кратности t =1. Тогда из (7.4) для рассмотренного выше примера получим Р _К=8*10^-3 – 8*10^-3*0.999⁷)≈5.6*10^-5. Исправление всего лишь однократной ошибки повышает помехоустойчивость избыточного кода на два порядка.