Построение модели

Классификация химических реакций

Аналитические математические модели

Реализация алгоритма на ПК.

Разработка алгоритма решения уравнений математической модели.

Выбор метода решения уравнений математического описания.

Разработка математического описания объекта в соответствии с постановкой задачи.

На этапе составления математического описания выделяют основные элементы объекта. Для каждого выделенного элемента записывается уравнение или система уравнений, отражающая его функционирование. Полученная система уравнений дополняется математическими выражениями, характеризующими связи между выделенными элементами объекта.

Этот этап подразумевает выбор наиболее эффективного, с точки зрения быстроты и точности расчета, метода решения уравнений математической модели объекта.

Этот этап предусматривает разработку программного обеспечения; компиляцию программы; проверку адекватности модели и, в зависимости от цели исследования, проведение численного эксперимента по модели.

Проверка адекватности, т.е. оценка достигнутого соответствия модели изучаемому объекту, необходима по той причине, что любая модель является лишь приближенным отображением реального объекта вследствие упрощающих допущений, принимаемых на этапах создания модели и построения вычислительного алгоритма. Проверка адекватности осуществляется сравнением результатов расчета с надежными результатами эксперимента на изучаемом объекте при одинаковых условиях.

Проведение численного эксперимента позволяет провести детальное исследование объекта в рамках созданной математической модели за счет реализации большего числа вариантов и определения большего числа показателей. Численный эксперимент позволяет прогнозировать поведение объекта в тех или иных условиях функционирования; дает возможность преобразовывать программу моделирования данного объекта для изучения другого объекта со сходным математическим описанием.

6. Анализ результатов.

Тема: моделирование процессов химического превращения.

В зависимости от механизма превращения компонентов реакционной смеси, химические реакции разделяют на простые или элементарные реакции, протекающие в одну стадию и сложные, многостадийные химические реакции, состоящие из совокупности элементарных стадий.

В зависимости от количества фаз, содержащих компоненты реакционной смеси, различают гомофазные и гетерофазные химические реакции. Гомофазными являются реакции, все компоненты которых находятся в одной фазе; гетерофазными называют реакции, компоненты которых находятся в разных фазах.

В зависимости от зоны протекания химические реакции подразделяют на гомогенные и гетерогенные реакции. Зоной протекания гомогенной реакции является объем одной из фаз; зоной протекания гетерогенной реакции является поверхность контакта фаз.

Интенсивность протекания химической реакции характеризуется скоростью превращения компонентов реакционной смеси – .

Скорость превращения компонента определяется изменением этого компонента в единице пространства зоны протекания реакции в единицу времени:

при протекании гомогенной реакции

,

где – количество вещества [моль] ([кмоль]); – объем реакционной смеси [м³];

при протекании гетерогенной реакции

,

где – поверхность контакта фаз [м²].

Выразим количество вещества через его концентрацию в реакционной смеси:

[моль/м³],

тогда

;

аналогично этом для гетерогенной реакции

.

При условии, что реакция протекает без изменения объема, и, следовательно, , полученные выражения упрощаются:

скорость превращения гомогенной реакции

;

скорость превращения гомогенной реакции

,

где – удельная поверхность контакта фаз.

Для элементарных реакций, протекающих в одну стадию, скорость превращения компонента определяется как произведение скорости стадии на соответствующий стехиометрический коэффициент :

;

для сложных реакций скорость превращения компонента определяется как совокупность, т. е. алгебраическая сумма, скоростей превращения компонента по каждой стадии, в которой он участвует и как реагент и (или) как продукт реакции:

,

– количество элементарных стадий, в которых участвует компонент.

При расчете скорости превращения компонента надо иметь в виду, что скорость стадии берется со знаком «–», если компонент участвует в этой стадии как реагент и со знаком «+», если компонент является в этой стадии продуктом реакции.

Скорость каждой элементарной стадии определяется в соответствии с законом действующих масс: скорость реакции пропорциональна произведению концентраций реагирующих веществ, взятых в степенях, равных стехиометрическим коэффициентам

,

где – коэффициент пропорциональности, называемый константой скорости реакции.

Общий вид математической модели химической кинетики для гомогенной реакции, протекающей при постоянной температуре и без изменения объема реакционной смеси имеет вид:

.

Пример.

Постановка задачи: разработать математическую модель кинетики гомогенной химической реакции, протекающей по механизму . Реакция протекает при постоянном объеме и постоянной температуре Константы скоростей стадий известны.

Запишем уравнения изменения концентраций компонентов реакционной смеси в соответствии с общим видом модели химической кинетики:

Определим скорости каждой стадии:

Найдем скорости превращений компонентов смеси:

После подстановки, окончательно математическая модель примет вид:

Практически все химические реакции сопровождаются выделением тепла (экзотермическая реакция) или поглощением тепла (эндотермическая реакция), что приводит к изменению температуры реакционной смеси, если процесс не термостатирован.

Изменение температуры реакционной смеси, прежде всего, повлияет на значение констант скоростей стадий, которые в данном случае уже не будут постоянными величинами, как в случае моделирования изотермической реакции, а также на физические свойства реакционной смеси: теплоемкость и плотность .

При моделировании неизотермической химической реакции необходимо принять следующие упрощающие допущения:

1. Теплообмен с окружающей средой отсутствует, т.е. температура реакционной смеси изменяется только за счет тепловых эффектов химического взаимодействия;

2. Изменением теплофизических свойств реакционной смеси можно пренебречь ;

3. Тепловой эффект реакции не зависит от изменения температуры реакционной смеси.

Таким образом, математическая модель неизотермической химической реакции должна включать следующие уравнения:

1. Температурные зависимости констант скоростей стадий, которые определяются по известному уравнению Аррениуса:

,

где – температура реакционной смеси, [град К];

2. Систему дифференциальных уравнений изменения концентраций компонентов реакционной смеси ;

3. Уравнение, определяющее скорость изменения температуры реакционной смеси:

,

где – тепловой эффект реакции, отнесенный к единице какого-либо компонента смеси, условно обозначенного буквой К, [Кдж/кмоль К]; – объемная теплоемкость реакционной смеси, [Кдж/м³ град К]; – скорость превращения того компонента смеси, к единице которого отнесен тепловой эффект реакции.

Тепловой эффект реакции берется со знаком «+», если реакция экзотермическая и со знаком «–», если реакция эндотермическая.

В качестве примера рассмотрим предыдущую реакцию, изменив постановку задачи.

Постановка задачи: разработать математическую модель кинетики гомогенной экзотермической химической реакции, протекающей по механизму .

Тепловой эффект реакции отнесен к одному кмоль компонента – [Кдж/кмоль ]. Реакция протекает при постоянном объеме .

Запишем уравнения констант скоростей стадий реакции:

Система дифференциальных уравнений изменения концентраций компонентов (из предыдущей задачи) имеет вид:

В соответствии с постановкой задачи, уравнение изменения температуры реакционной смеси примет вид:

,

или после соответствующей подстановки: