Графическое изображение ПРО

Вероятностное определение ПРО

Вероятностное определение ПРО следует из (10) при стремлении интервала наработки Δt →t0 и увеличения объема выборки N →∞

(3.11)

ПРО по существу является плотностью распределения (плотностью вероятности) случайной величины T наработки объекта до отказа.

Поскольку Q(t) является неубывающей функцией своего аргумента, то
f(t)≥ 0.

Один из возможных видов графика f(t) приведен на рис. 3.2.

Как видно из рис. 3.2, ПРО f(t) характеризует частоту отказов (или приведенную ВО), с которой распределяются конкретные значения наработок всех N объектов (t₁, …, t_N), составляющие случайную величину наработки T до отказа объекта данного типа. Допустим, в результате испытаний установлено, что значение наработки t_i присуще наибольшему числу объектов. О чем свидетельствует максимальная величина f(t_i). Напротив, большая наработка t_j была зафиксирована только у нескольких объектов, поэтому и частота f(t_j) появления такой наработки на общем фоне будет малой.

Рис. 3.2

Отложим на оси абсцисс некоторую наработку t и бесконечно малый интервал наработки шириной dt, примыкающий к t.

Тогда вероятность попадания случайной величины наработки T на элементарный участок шириной dt (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна:

(3.12)

где f(t)dt – элемент ВО объекта в интервале [ t, t + dt ] (геометрически это площадь заштрихованного прямоугольника, опирающегося на отрезок dt).

Аналогично вероятность попадания наработки T в интервал [ t_k, t_m ] равна:

(3.13)

что геометрически интерпретируется площадью под кривой f(t), опирающейся на участок [ t_k, t_m ].

ВО и ВБР можно выразить в функции ПРО.

Поскольку Q(t) = P{T < t}, то используя выражение (13), получим

(3.14)

расширение интервала слева до нуля вызвано тем, что T не может быть отрицательной.

Т. к. P(t) = P { T ≥t }, то

(3.15)

Очевидно, что Q(t) представляет собой площадь под кривой f(t) слева от t, а P(t) – площадь под f(t) справа от t. Поскольку все, полученные при испытаниях значения наработок лежат под кривой f(t), то