Примеры. Свойства пределов числовых функций

Свойства пределов числовых функций

Обозначения

Окрестностное определение по Коши

Пусть функция определена на множестве, имеющем элементы вне любой окрестности нуля. В этом случае точка называется пределом функции на бесконечности, если для любой её малой окрестности найдётся достаточно большая окрестность нуля, что значения функции в точках, лежащих вне этой окрестности нуля, попадают в эту окрестность точки.

Если в точке у функции существует предел, равный, то говорят, что функция стремится к при стремлении к, и пишут одним из следующих способов:

·, или

·.

Если у функции существует предел на бесконечности, равный, то говорят, что функция стремится к при стремлении к бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

·, или

·.

Если у функции существует предел на плюс бесконечности, равный, то говорят, что функция стремится к при стремлении к плюс бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

·, или

·.

Если у функции существует предел на минус бесконечности, равный, то говорят, что функция стремится к при стремлении к минус бесконечности, и пишут одним из следующих способов:

·, или

·.

Пусть даны функции и.

· Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел.

Доказательство

Доказательство методом от противного. Пусть существует и и. Предположим A ₁ < A ₂. Возьмём, такое что A ₁ + ε < A ₂ − ε, т.е..

, т.е. A ₁ − ε < f (x) < A ₁ + ε.

, т.е. A ₂ − ε < f (x) < A ₂ + ε.

Тогда получаем Противоречие. Значит предел единственный.

· Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще,

где — проколотая окрестность точки a.

· В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки:

· Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки:

· Отделимость от нуля функций, имеющих предел, отличный от нуля.

· Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства.

· Правило двух милиционеров

· Предел суммы равен сумме пределов:

· Предел разности равен разности пределов:

· Предел произведения равен произведению пределов:

· Предел частного равен частному пределов.

· Функция, возвращающая константу, имеет предел в любой точке, в которой определена. Он равен этой константе.

· Тождественная функция в любой точке, в которой определена, имеет предел равный этой точке.

· Функция Дирихле не имеет предела ни в какой точке числовой прямой.

· Функция имеет предел на бесконечности, равный нулю.

· Функция арктангенс имеет на плюс и минус бесконечности пределы плюс и минус пи пополам соответственно и, следовательно, не имеет предела на бесконечности.