Производные простых функций

Таблица производных

Производная вектор-функции по параметру

Таблица производных некоторых функций

Правила дифференцирования

Примеры

· Пусть f (x) = x ². Тогда

· Пусть f (x) = | x |. Тогда если то

f '(x ₀) = sgn x ₀,

где sgn обозначает функцию знака. Если x ₀ = 0, то а следовательно f '(x ₀) не существует.

Операция нахождения производной называется дифференцированием. При выполнении этой операции часто приходится работать с частными, суммами, произведениями функций, а также с «функциями функций», то есть сложными функциями. Исходя из определения производной, можно вывести правила дифференцирования, облегчающие эту работу. Если C — постоянное число и f=f(x), g=g(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

· C ' = 0

· x ' = 1

· ^[2]

· ^[3]

·

· …(g ≠ 0)

· (g ≠ 0)

· Если функция задана параметрически:

, то

Основная статья: Дифференцирование сложной функции

·

· Формулы производной произведения и отношения обобщаются на случай n-кратного дифференцирования (формула Лейбница):

где — биномиальные коэффициенты.

Следующие свойства производной служат дополнением к правилам дифференцирования:

· если функция дифференцируема на интервале (a, b), то она непрерывна на интервале (a, b). Обратное, вообще говоря, неверно (например, функция y (x) = | x | на [ − 1,1]);

· если функция имеет локальный максимум/минимум при значении аргумента, равном x, то f '(x) = 0 (это так называемая лемма Ферма);

· производная данной функции единственна, но у разных функций могут быть одинаковые производные.

·

Доказательство

y = f (x) ^{g (x)}

ln y = g (x)ln f (x)

■

Основная статья: Таблица производных

Функция	Производная	Примечание
		Доказательство: Фиксируем, придадим приращение аргументу. Вычислим приращение функции:, т.о См.
		Доказательство: Фиксируем, придадим приращение аргументу. Вычислим приращение функции:, т.о См.

Определим производную вектор-функции по параметру:

.

Если производная в точке существует, вектор-функция называется дифференцируемой в этой точке. Координатными функциями для производной будут.

Свойства производной вектор-функции (всюду предполагается, что производные существуют):

· — производная суммы есть сумма производных.

· — здесь — дифференцируемая скалярная функция.

· — дифференцирование скалярного произведения.

· — дифференцирование векторного произведения.

· — дифференцирование смешанного произведения.

Вычисление производной — важнейшая операция в дифференциальном исчислении. Эта статья содержит список формул для нахождения производных от некоторых функций.

В этих формулах f и g — произвольные дифференцируемые функции вещественной переменной, а c — вещественная константа. Этих формул достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

Содержание · 1 Производные простых функций · 2 Производные экспоненциальных и логарифмических функций · 3 Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций · 4 Производные гиперболических функций · 5 Правила дифференцирования общих функций

·

·

·

Вывод

(cx)' = cx ' = c

· когда и определены,

Вывод

(x + h) ^c = x^c + (x^c)' h + o (h)

(x + h) ^c − x^c = (x^c)' h + o (h)

cx^{c − 1} h + o (h) = (x^c)' h + o (h)

cx^{c − 1} = (x^c)'

·

Вывод

Так как, то пусть и

Тогда

·

·

·

·