Непрерывность почти всюду

Односторонняя непрерывность

Полунепрерывность

Равномерная непрерывность

Вариации и обобщения

Функция Римана

Функция Дирихле

Основная статья: Функция Дирихле

Функция

называется функцией Дирихле. По сути, функция Дирихле — это характеристическая функция множества рациональных чисел. Эта функция является всюду разрывной функцией, поскольку на каждом интервале существуют как рациональные, так и иррациональные числа.

Функция

называется функцией Римана.

Эта функция является непрерывной всюду в множестве иррациональных чисел (), поскольку предел функции в каждой точке равен нулю.

Основная статья: Равномерная непрерывность

Функция f называется равномерно непрерывной на E, если для любого существует δ > 0 такое, что | f (x ₁) − f (x ₂) | < ε для любых двух точек x ₁ и x ₂ таких, что | x ₁ − x ₂ | < δ.

Каждая равномерно непрерывная на множестве E функция, очевидно, является также и непрерывной на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если область определения — компакт, то непрерывная функция оказывается также и равномерно непрерывной на данном отрезке.

Существует два симметричных друг другу свойства — полунепрерывность снизу и полунепрерывность сверху:

· функция f называется полунепрерывной снизу в точке a, если для любого ε > 0 существует такая окрестность U_E (a), что f (x) > f (a) − ε для всякого;

· функция f называется полунепрерывной сверху в точке a, если для любого ε > 0 существует такая окрестность U_E (a), что f (x) < f (a) + ε для всякого.

Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая связь:

· если взять функцию f, непрерывную в точке a, и уменьшить её значение (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную снизу в точке a;

· если взять функцию f, непрерывную в точке a, и увеличить её значение (на конечную величину), то мы получим функцию, полунепрерывную сверху в точке a.

В соответствии с этим можно допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения:

· если, то будем считать такую функцию полунепрерывной снизу в точке a;

· если, то будем считать такую функцию полунепрерывной сверху в точке a.

Функция f называется односторонне непрерывной слева (справа) в каждой точке x ₀ её области определения, если для одностороннего предела выполняется равенство: ()

На вещественной прямой обычно рассматривается простая линейная мера Лебега. Если функция f такова, что она непрерывна всюду на E, кроме, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется непрерывной почти всюду.

В том случае, когда множество точек разрыва функции не более чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций (см. критерий интегрируемости функции по Риману).