Односторонние полукасательные

Вариации и обобщения

Свойства

Касательная к окружности

Касательная как предельное положение секущей

Замечание

Строгое определение

Касательная прямая

Примеры

·,

·,

^[1].

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Содержание · 1 Строгое определение · 2 Замечание · 3 Касательная как предельное положение секущей · 4 Касательная к окружности o 4.1 Свойства · 5 Вариации и обобщения o 5.1 Односторонние полукасательные

· Пусть функция определена в некоторой окрестности точки, и дифференцируема в ней:. Касательной прямой к графику функции f в точке x ₀ называется график линейной функции, задаваемой уравнением

.

· Если функция f имеет в точке x ₀ бесконечную производную то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением

x = x ₀.

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку (x ₀, f (x ₀)). Угол α между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению

где обозначает тангенс, а — коэффициент наклона касательной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x) в этой точке.

Пусть и Тогда прямая линия, проходящая через точки (x ₀, f (x ₀)) и (x ₁, f (x ₁)) задаётся уравнением

Эта прямая проходит через точку (x ₀, f (x ₀)) для любого и её угол наклона α(x ₁) удовлетворяет уравнению

В силу существования производной функции f в точке x ₀, переходя к пределу при получаем, что существует предел

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

Прямая, проходящая через точку (x ₀, f (x ₀)) и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий задаётся уравнением касательной:

y = f (x ₀) + f '(x ₀)(x − x ₀).

Отрезки касательных

Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

3. Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с радиусом, является тангенсом угла между этим радиусом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens — «касательная».

· Если существует правая производная то пра́вой полукаса́тельной к графику функции f в точке x ₀ называется луч

· Если существует левая производная то ле́вой полукаса́тельной к графику функции f в точке x ₀ называется луч

· Если существует бесконечная правая производная то правой полукасательной к графику функции f в точке x ₀ называется луч

· Если существует бесконечная левая производная то правой полукасательной к графику функции f в точке x ₀ называется луч