Математические модели систем общие понятия

Математические модели функционирования информационно-измерительных и управляющих систем

Лекция 5.

2.1.1. Определение математической модели

В широком смысле на практике под математической структурой системы следует понимать способ описания и форму представления её элементов, свойств и связей. При этом под математической структурой в узком смысле следует понимать только строение системы как совокупность конечного числа элементов, вид и направление согласующих связей между ними, и их преобразующие свойства. Тогда математическая структура системы в широком смысле представляет собой совокупность отношений и отображений, задающих упорядоченные связи и элементы в системе. На практике для построения математической модели системы вполне достаточно определения математической структуры первого порядка, называемой просто математической структурой, под которой будем понимать выражение следующего вида:

(2.1.1)

где приняты следующие обозначения: - множество математических элементов различных по функциональным действиям, назначениям и наименованиям; - n -местным (n -мерным) отношением на непустом множестве (в общем случае представляет собой подмножество декартова произведения n -ой степени); – множество отображений множества во множество.

Одним из наиболее ярких применений понятия при теоретическом анализе процесса преобразования информации является модельное описание системы. Построенная системы может быть в узком смысле принята за математическую модель её, если элементы и связи между ними для могут отображать реальные свойства системы. Таким образом, чтобы избежать не однозначного трактования результатов математического моделирования необходимо в установление взаимно однозначного соответствия (изоморфизма) между её компонентами.

Введение понятия дает возможность перейти к понятию математической модели системы. Полнота математической модели определяет степень однозначности модельного представления системы. Математические модели можно классифицировать [13]:

1. Непрерывные линейные модели, описываемые системой линейных дифференциальных уравнений вида:

(2.1.2)

где - n - мерный вектор выходного сигнала; - r - мерный вектор входного сигнала; - m - мерный вектор управления; - k - мерный вектор возмущающего воздействия; A – (n´n) - мерная постоянная матрица; B - (n´r) - мерная постоянная матрица; C - (n´m) - мерная постоянная матрица; D - (n´k) - мерная постоянная матрица.

1. Непрерывные нелинейные модели, описываемые системой нелинейных дифференциальных уравнений вида

(2.1.3)

1. Дискретные линейные модели, описываемые для постоянного временного интервала разностными уравнениями вида:

(2.1.4)

где i = 0,1,2,…, N -1 – номер временного интервала.

1. Дискретные нелинейные модели, описываемые разностными уравнениями вида:

(2.1.5)

1. Стохастические модели.
2. Нечёткие модели.
3. Логико-вероятностные модели с неизменяющейся вероятностью событий.
4. Логико-вероятностные модели с изменяющейся во времени вероятностью событий.
5. Логико-вероятностные модели с интервальным заданием вероятностей событий.
6. Логико-вероятностные модели с интервальным заданием вероятностей, изменяющимися во времени.
7. Логико-вероятностные модели со случайными вероятностями событий и изменяющимися во времени их плотностями распределения.
8. Логико-лингвистические модели с неизменяющимися во времени функциями принадлежности.
9. Логико-лингвистические модели с изменяющимися во времени функциями принадлежности.
10. Логико-лингвистические модели с неформализуемыми атрибутами лингвистического типа.

В дальнейшем применительно к рассматриваемому в книге классу систем, а именно ИУС_О мы будем рассматривать только первые три модели применительно к имитационному моделированию, а именно для рассматриваемых в книге вопросов связанных с имитационным моделированием технических систем обобщённая математическая модель которой в соответствии с соотношением 2.1.5 представим в следующем виде:

2.1.6

где приняты следующие обозначения: x, y, z – пространственные координаты; l - рабочий спектральный диапазон излучения; t – время; - пространственно-временная и спектральная характеристика объекта; , - основные множества математических элементов разной природы, различающихся условно приписываемыми им названиями.