Системы индексов. Сводные индексы в средней арифметической и средней гармонической формах

Сводные индексы в средней арифметической и средней гармонической формах

В ряде случаев на практике вместо индексов в агрегатной форме удобнее использовать средние арифметические и средние гармонические индексы. Любой сводный индекс можно представить как среднюю взвешенную из индивидуальных индексов. При этом форму средней нужно выбрать таким образом, чтобы полученный средний индекс был тождественен исходному агрегатному индексу.

Например, имеются данные о стоимости проданной продукции в текущем периоде и индивидуальных индексах цен, полученных в ходе выборочного наблюдения.

Товар	Товарооборот в текущем периоде, тыс.руб. å p1* q1	Индексы цен в текущем периоде по сравнению с базисным, %. ip = p1: p0
А	23 000	104,0
В	21 000	102,3
С	29 000	99,2

Агрегатный индекс цен рассчитывается по следующей формуле:

å p₁* q₁

Ip = --------------.

å p₀ * q₁ (9.3.1)

Исходя из формулы для индивидуального индекса цен можно выразить p₀:

p₁

p₀ = ------.

i_p (9.3.2)

Подставляя это выражение в агрегатный индекс, получаем формулу среднего гармонического индекса цен:

å p₁* q₁ 23 000 + 21 000 + 29 000

Ip = -------------- = -------------------------------------- = 1,016 = 101,6%.

p₁ * q₁ 23 000 21 000 29 000

å_{```````` ``````````</sub> +<sub>`````````</sub> +<sub>``````````}

i_p 1,040 1,023 0,992

Цены по данной товарной группе в среднем выросли на 1,6%.

При расчете сводного индекса физического объема можно использовать среднеарифметическую форму.

Товар	Товарооборот в базисном периоде, тыс.руб. å p0* q0	Изменение количества проданной продукции в текущем периоде по сравнению с базисным, %
А	46 000	- 6,4
В	27 000	- 8,2
С	51 000	+ 1,3

Индивидуальные индексы физического объема будут равны 93,6%, 91,8%, 101,3%. Агрегатная форма индекса физического объема рассчитывается по следующей формуле:

å p₀* q₁

Iq = --------------.

å p₀ * q₀ (9.3.3)

Выражаем из формулы индивидуальных индексов количества проданной продукции q₁:

i_q = q₁ : q₀ Þ q₁ = q₀ * i_q .

Подставляя это выражение в формулу агрегатного индекса, получаем среднеарифметический индекс физического объема:

å p₀* q₀ * i_q 46 000 * 0,936 + 27 000 * 0,918+ 51 000 * 1,013

Iq = ---------------- =------------------------------------------------------------ = 0,964 = 96,4%.

å p₀ * q₀ 46 000 + 27 000 + 51 000

Индексы могут использоваться для анализа динамики социально-экономических явлений за ряд последовательных периодов. В этом случае они должны рассчитываться по единой системе. Такая схема расчета индексов за несколько временных периодов называется системой индексов.

В зависимости от информационной базы и целей исследователя индексная система может строиться в четырех вариантах. Рассмотрим их на примере сводного индекса цен, рассчитываемого за n периодов:

А. Цепные индексы цен с переменными весами:

å p₁* q₁ å p₂* q₂ å p₃* q₃ å p_n* q_n

Ip_1/0 = ----------- Ip_2/1 = ------------ Ip_3/2 = ----------- … Ip_n/n-1 = -------------.

å p₀ * q₁ å p₁ * q₂ å p₂ * q₃ åp_n-1*q_n

Б. Цепные индексы цен с постоянными весами:

å p₁* q₀ å p₂* q₀ å p₃* q₀ å p_n* q₀

Ip_1/0 = ----------- Ip_2/1 = ------------ Ip_3/2 = ----------- … Ip_n/n-1 = -------------.

å p₀ * q₀ å p₁ * q₀ å p₂ * q₀ åp_n-1*q₀

В. Базисные индексы цен с переменными весами:

å p₁* q₁ å p₂* q₂ å p₃* q₃ å p_n* q_n

Ip_1/0 = ----------- Ip_2/0 = ------------ Ip_3/0 = ----------- … Ip_n/0 = -------------.

å p₀ * q₁ å p₀ * q₂ å p₀ * q₃ å p₀* q_n

Г. Базисные индексы цен с постоянными весами:

å p₁* q₀ å p₂* q₀ å p₃* q₀ å p_n* q₀

Ip_1/0 = ----------- Ip_2/0 = ------------ Ip_3/0 = ----------- … Ip_n/0 = -------------.

å p₀ * q₀ å p₀ * q₀ å p₀ * q₀ å p₀* q₀