Разностные методы решения ДУ и систем ОДУ

Классификация методов, применяемых при расчёте математических моделей ЭМП

Функция считается линейной при выполнении 2 условий

f (a+b) = f(a) + f(b)

f (e*a) = e * f(a)

заменой переменных.

Классический – решение ДУ (интегральный)

Операторный метод производится заменой переменных.

Аналитический

Тип Метода

Метод решения

Класс ур-й

Тип мат. описания

Круг задач

Кусочно-линейный

полиномиальный

Метод обр. матрицы

Р.-Кутты

Эйлера

Матем. итераций

Классич.

Операторный

Точный

Численный

Линейное

Нелинейное

Электр.

Магн.

Гемодин.

Механ.

СУ

ДУ в УП

ОДУ

линейное

Нелинейное

аппроксимация

Алгебр. уравн-я

Нелин. элементы

Магн. цепи

Полеваязадача

Динам. процесс

Перех. процесс

Методы решения линейной системы алгебраических уравнений:

Точные методы:

1) Метод последовательных исключений

2) Метод определителей

3) Метод отыскания обратной матрицы

4) Метод приведения к треугольной матрице

Метод Эйлера – одномерный метод первого порядка, основанный аппроксимации интегральной кривой кусочно-линейной функции.

Методы Рунге-Кутты:

Вторые разности:

Аналогично разность производных:

Вторые разности производных:

r wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRPr="00974E00"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>">

Нахождение значения функции по принципу разложения в ряд Тейлора:

m - количество разностей; – погрешность.

Полевая задача возникает при рассмотрении магнитной подсистемы в процессе моделирования электромагнитных преобразователей.

Существуют некоторые допущения: в большинстве случаев магнитное поле стационарное и ассиметричное. Это описывает ДУ второго порядка в частных производных.

Основное уравнение для описания магнитного поля (Пуассона)

А – вектор магнитного потенциала через оператор набла:

Существует 2 основных метода решения полевой задачи

Метод конечных разностей:

1 этап) на плоскости в области А, в которой ищутся решения, строится область

состоит из ячеек с одним размером и является приближенным отражением области А.

2 этап) Заданное ДУ в частных производных заменяется в узлах соответствующим конечно-разностным уравнением.

3 этап) С учетом граничных условий устанавливается значение искомого решения в граничных узлах области.

U – функция двух переменных.

От ДУ в частных производных переходят к линейному уравнению.

Для уравнения Пуассона используется разложение в ряд Тейлора в окрестности точки (x;y) вектора магнитного потенциала

Необходимое значение т.к. в узлах

Таблица конечных разностей (экстраполяция)

x	U=x³	D	D²	D³

*Трудоёмкий метод