При проектировании связано с системами массового обслуживания

Классификация систем массового обслуживания.

Лекция 9

Контрольные вопросы к лекции 8

1. Почему теория массового обслуживания используется для описания ИС?

2. Что называют потоком событий?

3. Какие потоки событий Вам известны? Перечислите их и опишите их основные свойства.

4. Что означает понятие ординарный поток?

5. Как Вы можете объяснить свойство стационарности потока?

6. Что такое «отсутствие последействия»?

7. Какой поток называется простейшим?

8. Какие потоки называются потоками Пальма, Эрланга? Поясните как они образуются.

Системы, в которых, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнение каких-либо видов услуг, а, с другой стороны, происходит удовлетворение этих запросов, называются системами массового обслуживания.

Система массового обслуживания включает следующие элементы: источник требований, входящий поток требований, очередь, обслуживающее устройство (обслуживающий аппарат, канал обслуживания), выходящий поток требований.

Системы массового обслуживания классифицируют по разным признакам. Одним из признаков является ожидание требования начала обслуживания. В соответствии с этим признаком системы подразделяются на следующие виды:

1) системы массового обслуживания с потерями (отказами);

2) системы массового обслуживания с ожиданием;

3) системы массового обслуживания с ограниченной длиной очереди;

4) системы массового обслуживания с ограниченным временем ожидания.

Системы массового обслуживания, у которых требования, поступающие в момент, когда все приборы обслуживания заняты, получают отказ и теряются, называются системами с потерями или отказами.

Системы массового обслуживания, у которых возможно появление как угодно длинной очереди требований к обслуживающему устройству, называются системами с ожиданием.

Системы массового обслуживания, допускающие очередь, но с ограниченным числом мест в ней, называются системами с ограниченной длиной очереди.

Системы массового обслуживания, допускающие очередь, но с ограниченным сроком пребывания каждого требования в ней, называются системами с ограниченным временем ожидания.

По числу каналов обслуживания СМО делятся на одноканальные и многоканальные.

По месту нахождения источника требований СМО делятся на разомкнутые, когда источник находится вне системы, и замкнутые, когда источник находится в самой системе. К последнему виду относится, например, станочный участок, в котором станки являются источником неисправностей, а следовательно, и требований на их обслуживание.

Одной из форм классификации систем массового обслуживания является кодовая (символьная) классификация Д. Кендалла. При этой классификации характеристику системы записывают в виде трех, четырех или пяти символов, например А | B | S, где А — тип распределения входящего потока требований, В — тип распределения времени обслуживания, S — число каналов обслуживания.

Для экспоненциального распределения принимают символ М, для любого (произвольного) распределения - символ G. Запись М | М | 3 означает, что входящий поток требований пуассоновский (простейший), время обслуживания распределено по экспоненциальному закону, в системе имеется три канала обслуживания.

Четвертый символ указывает допустимую длину очереди, а пятый — порядок отбора (приоритета) требований.

Уравнение Колмогорова для вероятностей состояний. Системы, представляемые в виде непрерывной цепи Маркова, обычно исследуют с помощью уравнения Колмогорова для вероятностей состояний.

Плотностью вероятности перехода из состояния S_i в состоянии S_j называется предел отношения вероятности этого перехода за время к длине промежутка , когда последний стремится к нулю:

,

где - вероятность того, что система, находившаяся в момент в состоянии S_i, за время перейдет в состояние S_j.

Марковская непрерывная цепь называется однородной, если плотность вероятностей не зависит от времени , в противном случае она называется неоднородной.

Для однородных Марковских непрерывных цепей, характеризующих процессы гибели и размножения, уравнения Колмогорова имеют вид:

,

где - вероятность состояния S_i, когда в системе находится требований в момент времени ; - общее число возможных состояний S₀, S₁,…, S_n.

При гипотезе о стационарном режиме работы системы (вероятности состояний не зависят от времени) уравнения Колмогорова принимают вид:

В большинстве практических задач оказывается допустимой гипотеза о стационарном режиме работы системы. Поэтому могут быть использованы уравнения Колмогорова второго вида.

Пример

Пусть задана система, описываемая графом состояний S1,S2,S3,S4 и возможными переходами между ними

Каждому из этих состояний S1,S2,S3,S4 соответствует своя вероятность, что система будет в этом состоянии.

- вероятность того, что система в момент времени t находится в состоянии S1.

Интенсивность переходов: где - время нахождения системы в данном состоянии.

Зададим малое приращение и найдем вероятность того, что в момент система будет находиться в состоянии S1.

1. Система была в момент времени t в состоянии S1 и за время никуда из этого состояния не ушла.

2. В момент времени t система была в состоянии S2 и за время перешла в состояние S1.

Рассмотрим вероятности этих состояний:

1.

2.

Возьмем предел от этой функции:

Таким образом, система уравнений Колмогорова имеет вид: