Лекция 10. Контрольные вопросы к лекции 9

Контрольные вопросы к лекции 9

1. На каких принципах возможно классифицировать СМО?

2. Скажите, что означает запись M/M/5?

3. Что мы получим, решив систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний?

4. При каких условиях существуют финальные вероятности?

5. В каком случае дифференциальные уравнения Колмогорова преобразуются в систему алгебраических уравнений? Объясните физический смысл этого превращения.

6. Какие величины связывает формула Литтла и для каких законов распределения она справедлива?

Многоканальная СМО с отказами (задача Эрланга)

Начнем рассмотрение с одной из простейших задач, которая возникла в начале 20 века при изучении работы телефонных станций. Изучалась эффективность работы телефонной станции, имеющей n каналов обслуживания (барышень, сидящих на коммутаторе). Все входящие потоки вызовов полагались простейшими. Интенсивность входного потока полагалась равной -Интенсивность обслуживания - .

Таким образом, СМО с отказами является такая система, в которой приходящие для обслуживания требования, в случае занятости всех каналов обслуживания, сразу ее покидают.

Найти:

- финальные вероятности

A- абсолютную пропускную способность

Q- относительную пропускную способность

- вероятность отказа

- среднее число занятых каналов

если все n каналов заняты, то заявка получает отказ.

1. Введём множество состояний:

S0- все каналы пусты

S1- один канал занят

S2- два канала заняты

Sn- n каналов заняты.

2. Составим граф состояний:

Обратите внимание на «разметку» нижних стрелок графа. Коэффициенты при интенсивности обслуживания возрастают с увеличением номера состояния. Это связано с тем, что если работают два канала, то обслужить свою заявку может каждый из них и суммарная интенсивность перехода в предыдущее состояние, где работает только один канал (любой из этих двух), равна , если работают три канала, то, соответственно, - и т.д.

эти формулы называются формулами ЭРЛАНГА.

Q – относительная пропускная способность показывает вероятность того, что заявка будет обслужена.

где А - абсолютная пропускная способность есть поток на выходе системы в абсолютных величинах за единицу времени.

Пример. В вычислительный центр коллективного пользования с тремя ЭВМ поступают заказы от предприятий на вычислительные работы. Если работают все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается, и предприятие вынуждено обратиться в другой вычислительный центр. Пусть среднее время работы с одним заказом составляет 3 часа. Интенсивность потока заявок 0,25 ч^-1. Найти вероятность отказа и среднее число занятых ЭВМ.

Имеем: m=3, l=0,25 ч^-1, =3 ч. Находим:

Таким образом, ЭВМ.

Одноканальная СМО с неограниченной очередью (М/М/1)

Это одна из наиболее часто используемых моделей, относящихся к СМО с ожиданием. При ее рассмотрении принимаются следующие предположения:

- входной поток заявок (требований) - пуассоновский;

- время обслуживании распределено по экспоненциальному закону.

- среднее время обслуживания.

Найти:

- среднее время ожидания

U- среднее время пребывания

- средняя длина очереди

N- среднее количество заявок в системе

- вероятность занятости устройства.

Будем определять характеристики этой СМО по уже рассмотренному в предыдущем случае алгоритму.

1. Введем множество состояний:

S0- канал (система) свободен

S1- одна заявка в СМО или канале и она обслуживается;

S2- две заявки в СМО - одна обслуживается, одна в очереди;

S3- три заявки в СМО – одна обслуживается, две в очереди;

Sn- n заявок в СМО – одна обслуживается, n-1 в очереди.

2.Составим граф состояний и разметим его.

Для этой системы финальные вероятности существуют при , если .

При и очередь возрастает неограниченно.

При система справляется с потоком, если он регулярный.

3. По формулам для процесса гибели и размножения имеем:

; ; ;

Вероятность того, что система пуста:

4. Определим характеристики эффективности

Среднее количество заявок в системе: …

Вероятность занятости системы:

Среднее время ожидания заявок в очереди:

Многоканальная СМО с неограниченной очередью (М/М/n)

Для рассмотрения этой СМО снова применим уже использованный нами алгоритм рассмотрения:

1. Зададим множество состояний:

S0 – система пуста;

S1 – один канал занят;

S2 – два канала заняты;

Sn – n каналов заняты;

Sn+k – n каналов заняты, k заявок в очереди..

2. Составим граф состояний и разметим его.

3. По формулам гибели и размножения найдем финальные вероятности.

Финальные вероятности существуют если

…

4. Характеристики эффективности.

Среднее число занятых каналов:

По формуле Литтла:

Пример. В порту имеется два причала для разгрузки грузовых судов. Интенсивность потока судов равна 0,8 судов в сутки. Среднее время разгрузки одного судна составляет 2 сут. Предполагается, что очередь ожидающих разгрузки судов может быть неограниченной длины.

Найти среднее время пребывания судна в порту.

Имеем: m=2, l=0,8 сут^-1, , .

Находим:

;

Итак, сут.

Частным случаем рассмотренной нами системы является СМО, в которой очередь не бесконечна, а имеет конечное значение. Этот случай рассматривается ниже

СМО с ограниченной длиной очереди.

СМО с ограниченной длиной очереди является такая система, в которой требование, поступающее на обслуживание, покидает систему, если заняты все каналы обслуживания, и в накопителе заняты все места.

Вероятности состояний S₀, S₁,…, S_N находят по формуле

, где .

Вероятности состояний определяют с помощью формулы

, где , l – максимальная длина очереди.

Вероятность P₀ подсчитывают по формуле .

В большинстве практических задач должно соблюдаться отношение , тогда выражение для P₀ можно переписать в следующем виде

Вероятность отказа в обслуживании определяется из выражения

Среднее число каналов, занятых в обслуживании, и коэффициент занятости определяются:

; .

Среднее число свободных аппаратов и коэффициент простоя определяются:

; .

Средняя длина очереди определяется с помощью выражения:

Пример. На автозаправочной станции установлены три колонки для выдачи бензина. Около станции находится площадка на три машины для их ожидания в очереди. На станцию прибывает в среднем две машины в минуту. Среднее время заправки одной машины 1мин. Требуется определить вероятность отказа и среднюю длину очереди.

Имеем: N=3, l=3, l=2мин^-1, =1мин, . Находим: , , тогда