Государственное агентство рыбного хозяйства Украины

Министерство аграрной политики и продовольствия Украины

В аналитической геометрии поверхность рассматривается как геометрическое место точек, её составляющих.

Пусть М – произвольная (текущая) точка этой поверхности. Положение точки М должно подчиняться определенному условию, характеризующему эту поверхность. Так как положение точки М определяется её координатами x, y, z,, то условие, которому должно удовлетворять положение точки М, сводится к условию, которому должны удовлетворять координаты точки М, т.е. сводится к некоторому уравнению.

(1)

Это уравнение называют уравнением данной поверхности, если координаты любой точки поверхности ему удовлетворяют, а координаты точки не лежащей на этой поверхности, не удовлетворяют.

О.1.1. Геометрическое место точек удовлетворяющих уравнению называется поверхностью.

Две задачи, которые ставятся перед аналитической геометрией:

1) зная уравнение поверхности, определить ее вид;

2) зная поверхность, составить уравнение.

При этом поверхности могут быть:

1) первого порядка, если уравнение первого порядка - плоскость;

2) второго порядка, если уравнение второго порядка – поверхность.

Рассмотрим в пространстве плоскость . Её положение вполне определяется заданием вектора , перпендикулярным данной плоскости и некоторой фиксированной точкой лежащей в плоскости .

О.2.1. Вектор , перпендикулярный плоскости , называется вектором нормали этой плоскости.

Если обозначить через координаты вектора , то .

Выведем уравнение плоскости , проходящей через данную точку , и имеющей нормальный вектор .

Для этого:

1) возьмем произвольную точку ;

2) рассмотрим вектор .

Следовательно, скалярное произведение

. (2)

Из построения , тогда уравнение (2) примет вид

. (3)

Уравнение (3) называется векторным уравнением плоскости.

В координатной форме

, а ,

тогда получим

или

(4)

Уравнение (4) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку.

Пример №1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку с вектором .

Решение: .

Очевидно, что всякой плоскости соответствует уравнение первой степени относительно текущих координат.

Рассмотрим уравнение (4)

Раскроем скобки и преобразуем полученное выражение:

Обозначим через . Получим уравнение вида

, (5)

Уравнение (5) называется общим уравнением плоскости.

Рассмотрим зависимость положение плоскости от коэффициентов.

1) Пусть Тогда вектор нормали . Если проекция вектора на ось равна нулю, то он проектируется в точку и расположен перпендикулярно оси , т.е. . Следовательно, в этом случае плоскость расположена параллельно той оси, одноименная координата которой отсутствует в уравнении плоскости.

Аналогично.

2) Пусть , т.е. .В этом случае координаты точки О(0.0,0) удовлетворяют уравнению плоскости, следовательно плоскость проходит через начало координат.

3) Пусть плоскость параллельна координатной плоскости и проходит через точку

Аналогично:

Если .

4) Пусть

Пусть дана плоскость

(7)

На оси отсекает отрезок равный .

На осиотсекает отрезок равный .

Так как точка принадлежит плоскости , то ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости, тогда получим:

отсюда

Аналогично

отсюда (8)

отсюда .

Пусть . Разделим уравнение (7) на , получим:

С учетом равенств (8) уравнение приобретет вид:

(9)

Уравнение (9) называется уравнением плоскости в отрезках.

Пусть даны три точки и текущая точка . Найдем уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. Для этого рассмотрим три вектора, выходящих из одной точки . Найдем координаты этих векторов:

Так как три точки лежат в одной плоскости, то векторы компланарны. Условие компланарности. (смешанное произведение векторов равно нулю). Найдем смешанное произведение найденных векторов: