Принцип Гюйгенса – Френеля

Первое объяснение дифракции света было дано Френелем в 1818г. В своем мемуаре он показал, что количественное описание дифракционных явлений возможно на основе построения Гюйгенса, если его дополнить принципом интерференции вторичных волн. Кирхгоф в 1882г. дал строгое математическое обоснование принципу Гюйгенса—Френеля.

В рамках электромагнитной теории света для описания дифракционных явлений не требуется вводить какие-либо новые принципы. Но точное решение задачи о распространении света на основе уравнений Максвелла с соответствующими граничными условиями представляет большие математические трудности. В большинстве случаев, представляющих практический интерес, вполне достаточным оказывается приближенный метод решения задачи о распределении света вблизи границы между светом и тенью, основанный на принципе Гюйгенса—Френеля.

Согласно принципу Гюйгенса, каждую точку, в которую пришла волна от источника, можно принять за центр вторичных волн, распространяющихся во все стороны. Результирующая волна рассматривается как наложение вторичных волн. Гюйгенс считал, что отдельные вторичные волны не обладают периодичностью, что они очень слабы и заметное действие производят только на их огибающей. При таком произвольном допущении принцип Гюйгенса дает лишь некоторый рецепт построения волновых фронтов, т.е. поверхностей, до которых дошло световое возмущение. Построения Гюйгенса наглядно объясняют законы прямолинейного распространения, отражения и преломления света. Но в этих построениях не используется понятие длины волны, поэтому они не позволяют определить условия применимости упомянутых законов.

Френель вложил в принцип Гюйгенса ясное физическое содержание, отказавшись от искусственного предположения об огибающей вторичных волн и рассматривая полное световое поле как результат интерференции вторичных волн. При этом не только получает физическое объяснение построение Гюйгенса (к точкам на огибающей все вторичные волны приходят в одинаковых фазах), но и появляется возможность расчета распределения светового поля в пространстве. Изучая распределение света вблизи границы между светом и тенью на основе принципа Гюйгенса-Френеля, можно получить количественное описание дифракционных явлений.

Рассмотрим какой-либо экран с отверстием, через которое проходит свет от данного источника (рис. 3.1). Источник пока будем считать точечным и монохроматическим. Размеры отверстия много больше длины волны света. Будем под Е понимать любую из компонент векторов Е или В электромагнитного поля световой волны, опуская при этом множитель е^-iwt, определяющий зависимость от времени. Задача состоит в определении Е_P в любой точке Р за экраном. При приближенном решении этой задачи по методу Френеля делается предположение, что напряженность Е в точках отверстия такова, какой она была бы в случае свободного распространения волны от источника вообще при отсутствии какого бы то ни было экрана, и что в точках, находящихся непосредственно за непрозрачным экраном, напряженность поля равна нулю. Очевидно, что в этом предположении совершенно не учитываются специфические свойства экрана, в частности материала, из которого он сделан, — считается, что это не играет никакой роли. Существенна только форма края отверстия (или края экрана) и совершенно несущественна форма удаленной от краев части экрана. Опыт показывает, что обсуждаемое предположение справедливо, когда размеры отверстия и расстояния до источника и точки наблюдения много больше длины волны,

т. е. когда отклонения от геометрической оптики малы. Оно нарушается, например, для узкой щели, ширина которой значительно меньше длины световой волны.

Проведем мысленно произвольную поверхность S, закрывающую отверстие в экране и ограниченную краями отверстия (см. рис. 6.1). Разделим эту поверхность на элементарные участки площадью dS, малые по сравнению с размерами отверстия, но большие по сравнению с длиной волны. Можно считать, что каждый из этих участков сам становится источником световой волны, распространяющейся во все стороны. Напряженность dE_P, создаваемая элементарным участком dS в точке Р, пропорциональна напряженности Е в самом участке dS (какой она была бы при отсутствии экрана) и проекции dS_n площади dS этого участка на плоскость, перпендикулярную вектору k луча, пришедшего из источника света в dS. Последнее связано с тем, что при любой форме участка dS через него будут проходить одни и те же лучи от источника, если только проекция dS_n будет неизменной. Поэтому можно предположить, что вклад такого участка поверхности S в напряженность поля в точке наблюдения Р будет тем же самым.

При вычислении вклада участка dS в Е_Р нужно учесть изменения амплитуды и фазы вторичной волны при ее распространении от dS к Р. Это приводит к появлению в выражении для d Е_Р множителя e^ikR/R, где R — расстояние от dS до Р, a k = 2п/l — волновое число. Таким образом, dE_P=K(a)E dS_n (3.1)

где К(a) — некоторый «коэффициент наклона», учитывающий зависимость амплитуды вторичных волн от угла a между вектором k и направлением на точку наблюдения. Естественно предположить, что коэффициент К(a) максимален в первоначальном направлении распространения света, т. е. при a = 0, и плавно убывает с увеличением a. Многие практически важные задачи дифракции можно решить с достаточной точностью при этих весьма общих предположениях относительно К(a), не уточняя конкретного вида его зависимости от a..

Теория Кирхгофа, основанная на том, что напряженность поля световой волны удовлетворяет волновому уравнению, дает следующее выражение для коэффициента наклона (6.2)

К(a) = (1 +cos a) = (1+cos a). (3.2)

При малых углах дифракции (a << 1) можно положить cos a» 1 и

К(a)» k/(2ni) = —i/l (3.3

Согласно гипотезе Френеля, полное световое поле в точке Р представляет собой суперпозицию полей (6.1) вторичных волн от всех элементов dS поверхности, закрывающей отверстие в экране:

dE_P=K(a)E dS_n (3.4)

В рассматриваемом приближении интеграл по поверхности S не зависит от формы этой поверхности. Формула дает математическое выражение принципа Гюйгенса-Френеля.