2014-02-09
808
Элемент математической культуры как компетенция
ЭМК О способах сведения сложных уравнений к простейшим
1. Применение равносильных преобразований (пример: сведения к линейному уравнению).
2. Замена уравнения совокупностью (произведение равно 0, если хотя бы 1 множитель равен 0, а другой при этом не теряет смысла). Чтобы применить этот способ, нужно предварительно все слагаемые перенести в левую часть и разложить ее на множители.
3. Замена уравнения системой уравнения и неравенства (пример: дробно-рациональные уравнения).
4. Метод замены переменных (пример: биквадратные уравнения).
Основная идея: раскрыть модуль. Для этого надо знать, какой знак принимает подмодульное выражение.
Схема решения.
1. Найти модульные нули.
2. Нанести найденные нули на координатную прямую и выделить образовавшиеся интервалы.
3. Определить знак каждого подмодульного выражения на каждом из интервалов.
4. Решить уравнение (неравенство) на каждом из интервалов: 1) раскрыть модуль на выбранном интервале; 2) решить полученное уравнение (неравенство); 3) выбрать решения, попадающие в выбранный интервал.
|
|
|
Пример 1. Решить неравенство: ï х 2 – 5 х + 4ï> х –3.
Шаг 1. Найдем модульные нули.
____________ = 0; х = ___, х = ___.
Шаг 2. Нанесем найденные нули на координатную прямую и выделим образовавшиеся интервалы.
 |
Шаг 3. Определим знак каждого подмодульного выражения на каждом из интервалов.
Шаг 4. Решим неравенство на каждом из интервалов:
а) х £ __ б) __£ х £ __ в) х ³ __
1) раскрываем модуль
_____________ > х – 3;
2) решаем полученное неравенство
х 2 – 6 х + 7 > 0
х 2 – 6 х + 7 = 0
 |
3) выберем решение, попадающее в интервал
х Î ________.
Самостоятельно рассмотреть остальные случаи.
Ответ: _________________________________________________________________
Пример 2. Решить неравенство: ï х 2 – 5 х + 4ï> ï х –3ï.
Что изменится? (добавится еще один модульный нуль: число _____; появятся новые интервалы; на каждом из интервалов надо учитывать знак двух подмодульных выражений). Совет: Знаки на интервалах располагать в порядке следования модулей в заданном неравенстве.
 |
Самостоятельно решить.
Пример 3. Решить уравнение: ï х 2 – 5 х + 4ï= ï х –3ï.
Что изменится?
а) х £ 1
1) раскрываем модули
х 2 – 5 х + 4 = – х + 3;
2) решаем полученное уравнение
х 2 – 4 х + 1 = 0
х = 2 – 
; х = 2 +
3) выберем решение, попадающее в интервал
 |
х = 2 – 
.
Самостоятельно рассмотреть остальные случаи.
Замечание.
1. Если дано уравнение или неравенство вида ï f (х)ï Ú а, то надо уметь устно избавляться от модуля.
2. Если дано уравнение или неравенство вида ах 2 + b ï х ï + с Ú 0, то удобно решать заменой переменных: ï х ï = t.
|
|
|
