Частица в потенциальной яме конечной глубины

Рассмотрим более сложную задачу: частица находится в связанном состоянии в потенциальной яме, борта которой имеют конечную высоту U0. Понятно, что состояние будет связанным только в том случае, когда полная энергия частицы меньше высоты потенциального барьера. Ситуация отличается от выше рассмотренной. Во-первых тем, что вследствие квантового туннелирования волновая функция вне ямы не равна нулю. Второе принципиальное отличие состоит в том, что скачок потенциала на границе ямы имеет не бесконечную, а конечную величину. Проведение анализа дифференциального уравнения для пространственной составляющей волновой функции, аналогичное проделанному выше, приводит к выводу, что на границах ямы не только сама волновая функция непрерывна, но непрерывна также ее производная по координате. Самая большая неоднородность производной волновой функции в этих точках – изломы.

Граничные условия, которым должна удовлетворять волновая функция должны иметь вид:

y(– –0)=y(– +0), y`(– –0)=y`(– +0)=0, (32)

y(+ –0)=y(+ +0), y`(+ –0)=y`(+ +0). (33)

Как и раньше, частица внутри потенциальной ямы свободна, поэтому в области – b/2<x<b/2 волновая функции должна описываться законом косинуса или синуса. Вне потенциальной ямы волновая функция удовлетворяет уравнению:

Ey=– +U0y Þ – y=0. (34)

Нетрудно увидеть, что при E<U0 решением уравнения (34) является функция

y(x)=q×e^-ax, (35)

где

a= = . (36)

Волновое число k имеет тот же смысл, что и в разделе 1.1, а

k = . (37)

Используем граничные условия в точке x=b/2. Имеем

a×cos =q×e^-a , (38)

ak×sin =–qa×e^-a , (39)

Если поделим почленно уравнение (39) на уравнение (38), то получим:

k×tg =a Þ k×tg =– . (40)

Решение уравнения (40) дает допустимые значения волнового числа k.

Графическая схема решения уравнения (40) показана на рисунке 26. График зависимости правой части от k представляет собой нижнюю полуокружность радиуса k0, а график левой части имеет много ветвей. Точки пересечения графиков левой и правой частей уравнения дают возможные значения волнового числа. Решения, дающие малые значения волнового числа довольно близки к тому, что получаются для частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме (в рассматриваемой ситуации окружность имела бы бесконечный радиус. Она бы пересекала тангенсоподобные ветви в асимптотике kb=p. Чем больше k, т.е. чем ближе значения полной энергии частицы к высоте бортов потенциальной ямы, тем сильнее отклонения значений k от результатов расчетов, даваемых моделью бесконечно глубокой потенциальной ямы. Последние уровни могут находиться довольно близко друг от друга. Число энергетических уровней ограничено.

Несомненный интерес представляет вид распределений амплитуд вероятности в стационарных состояниях. Для примера получим вид волновых функций частицы для основного и следующего за ним по энергии состояний. Пусть k0=4 . Значения волнового числа, отвечающего этим двум состояниям, будут мало отличаться от того, что получается при бесконечно глубокой потенциальной яме, т.е. в нулевом приближении можно положить, что k1= , k2=2 . Тогда

a1= »3,88 , a2= »3,5 . (41)

Определим поправки к волновому числу. Для нулевого уровня имеем:

k×tg =– Þ ×tg »–3,88 , Þ tg »–3,88. (42)

Понятно, что из (42) следует, что произведение kb близко к значению p. А так как

tg = » sin »– , (43)

где d – отклонение величины kb/2 от значения p /2.