Потенциальные силы, потенциальная энергия и их взаимосвязь

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий отдельных частей системы независимо от того, взаимодействуют они между собой или нет.

Если в каждой точке простран­ства на помещенную туда частицу действует сила, то го­ворят, что частица находится в поле сил. Так, напри­мер, частица может находиться в поле сил тяжести, в по­ле упругих сил, в поле сил сопротивления (в потоке жид­кости, газа) и т. д.

Существуют силовые поля, в которых работа, совершае­мая над частицей силами поля, не зависит от пути меж­ду точками 1и 2. Силы, обладающие таким свойством, называют консервативными или потенциальными. Очевидно, что для потенциальных сил выполняется равенство:

,

где A _1a2 - работа при перемещении точки из положения 1 в 2 по траектории 1- a- 2 в стационарном поле (рис. 3.1), A _1b2 - вдоль траектории 1-b-2. Изменение направления движения точки вдоль траектории на проти­воположное вызывает изменение знака работы потенциальной силы, так как величина F_s в выражении (3.2) меняет свой знак, т.е. , Поэтому,, т.е. при перемещении материальной точки вдоль любой замкнутой траектории работа потенциальной силы тождественно равна нулю.

Рис.3.1

Примерами потенциальных сил могут служить силы всемир­ного тяготения, силы упругости, силы электростатического взаимодействия между заряженными телами.

Силы, не являющиеся потенциальными, называют непотенциальными. К числу непотенциальных сил относятся, например, силы трения и сопротивления. Работа этих сил зависит от пути между начальным и конечным положениями частицы и не рав­на нулю на любом замкнутом пути.

Потенциальная энергия частицы - это энергия, которая зависит только от ее положения относительно других частиц или тел, с которыми данная частица взаимодействует. Изменение положения частицы в поле сопровождается изменением ее потенциальной энергии, которое определяется совершаемой работой. Потенциальная энергия частицы убывает, если работа перемещения совершается силами самого поля и возрастает, если частица перемещается против сил поля на величину совершаемой работы внешними (сторонними) силами. С учетом сказанного изменение потенциальной энергии частицы, которая перемещается в поле потенциальных сил из точки 1в точку 2, можно представить в виде:

,. (3.11)

uде- работа перемещения частицы из точки 1 в точку 2, и- радиус-векторы точек 1 и 2 соответственно, и потенциальная энергия частицы соответственно в точках 1 и 2. Выражение справа есть разность значений потенциальной энер­гии частицы в начальной и конечной точках пути. Разность потенциальной энергии U в конечной и начальной точках есть приращение Δ U. Тогда (3.11) можно представить в виде:

A ₁₂ = – Δ U, (3.12)

Из соотношения (3.12) видно, что работа потенциальных сил, действующих на частицу, равна убыли ее потенциальной энергии. При бесконечно малом перемещении частицы элементарная работа перемещения будет равна элементарному приращению потенциальной энергии частицы со знаком минус:

d A = – dU. (3.13)

Представим элементарное перемещение частицы в формуле (3.1) для элементарной работы d A, совершаемой силами поля, через приращения декартовых координат:

. (3.14)

Тогда (3.1) примет вид согласно правилу скалярного произведения:

. (3.15)

С другой стороны, согласно (3.13) элементарная работа равна убыли (–) потенциальной энергии, которая в декартовом пространстве является функцией координат (x, y, z). Представив приращение dU по формуле для полного дифференциала функции от нескольких переменных, перепишем равенство (3.15) в виде:

. (3.16)

Сопоставляя (3.15) и (3.16), получим:

. (3.17)

Формулы (3.17) определяют проекции вектора силы на координатные оси. Вектор силы в этом случае определяется соотношением:

. (3-17)

Выражение, стоящее в скобках называют градиентом потенциальной энергии U и обозначают grad U. Поэтому

. (3-18)

Формула (3-18) означает, что сила поля равна градиенту со знаком минус по­тенциальной энергии частицы в данной точке поля. Эта формула дает возможность, зная функцию U определить поле сил .