double arrow

ПОТЕНЦИАЛЬНО-БЕСКОНЕЧНОЕ В МАТЕМАТИКЕ

Мы приходим здесь к философии бесконечного. Математика переходит здесь в метаматематику, физика в метафизику и религию, как это показал гениальный Кантор. Но категории конечного и бесконечного, потенциально и актуально-бесконечного

que je pusse connaître que je doute et que je désire, c'est-à-dire qu'il me rnanque_quelque chose et que je ne suis pas tout parfait, si je n'avois en moi auqune idée d'un être plus parfait que le mien, par la comparaison duquel je connoitrois les défauts de ma nature? (ib.) 12. Декарт говорит здесь о том, что конечное фундировано в бесконечном, но то же самое относится и к потенциально-бесконечному, ибо, как увидим далее, последнее есть в конце концов лишь переменное конечное, суть прежде всего математические категории, а поэтому для их уяснения мы должны обратиться к математикам и философам сразу. Они должны нам ответить на вопрос: правда ли, что потенциальная бесконечность фундирована в актуальной? правда ли, что нельзя обойтись при помощи одной потенциальной бесконечности? Здесь нужно прямо сказать, что ответ на этот вопрос неоднороден. Здесь тоже великий водораздел философии, идущий издревле. Ибо существует horror infiniti, как существует horror Absoluti 14. И кто отрицает транс в Абсолютное, тот обыкновенно отрицает и транс в бесконечное, так как Абсолютное связано с бесконечным нераздельно. Существуют математики, утверждающие, что математика знает только потенциально-бесконечное; актуально-бесконечное ей не нужно и математически непредставимо. С другой стороны, существуют математики-философы, такие, как Лейбниц и Кантор, которые утверждают, что только актуально-бесконечное есть настоящее бесконечное и что оно фундаментально для мысли.

Нетрудно заметить, что потенциально-бесконечное не есть настоящее бесконечное. В самом термине «потенциально» уже содержится эта мысль: потенциальный выигрыш — не есть настоящий и реальный выигрыш; потенциальный человек (эмбрион) не есть еще настоящий человек. Но в потенциальной бесконечности содержится еще меньше потенций, чем в этих примерах: в своем движении она никогда и принципиально не может выиграть настоящей бесконечности; она никогда не может «развиться» в настоящую бесконечность. Поэтому ее следовало бы скорее назвать «импотентной» бесконечностью. Это было уже нами показано на вечном и основном символе бесконечного, на числовом ряде: 1, 2, 3, 4, 5...

«Потенциально-бесконечное»

есть бесконечная возможность движения, выходящего за пределы каждого числа посредством прибавления еще одной единицы *.

* Поэтому потенциальная бесконечность есть fieri 15.

Ясно, что в этом движении, развертывающем ряд, мы будем встречать всегда только конечные величины и не можем встретить бесконечной величины. Поэтому вот как Кантор определяет

потенциально-бесконечное:

это то бесконечное, которое доселе обычно применялось в математике и которое означает переменную величину, возрастающую или убывающую за пределы всякой конечной границы, но при этом величину, всегда остающуюся конечной.

Очевидно, во всем этом «процессе» нет настоящей бесконечности и не может ее быть. Вот почему потенциально-бесконечное Кантор называет das Uneigentlich-Unendliche, несобственно-бесконечное, иначе говоря — собственно не бесконечное; indefinitum 16 в отличие от infinitum. Вот почему Гегель, впервые указавший на это свойство потенциальной бесконечности, назвал ее «дурной» бесконечностью.

Поставленный выше вопрос: «Нельзя ли обойтись при помощи одной потенциальной бесконечности?» — становится, таким образом, весьма радикальным — он означает ни более ни менее как следующее:

«Нельзя ли обойтись при помощи одного конечного? Нужно ли вообще настоящее бесконечное в математике?»


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: