Диффузия броуновских частиц

Частицы малых размеров, но являющиеся макроскопическими по отношению к молекулам, помещенные в жидкость или газ, совершают беспорядочные движения. Их траектории, как и траектории молекул, представляют собой запутанные клубки, увеличивающиеся со временем в размерах. Проведем расчет среднего размера клубка броуновской частицы.

Пусть частица массы M движется в вязкой среде с коэффициентом вязкости h. Движение происходит под действием непрекращающихся ударов молекул среды. Пусть сила взаимодействия молекул с частицей описывается случайной функцией f(t), где – радиус-вектор частицы. В отсутствии внешних сил уравнение движения частицы можно записать в виде:
(11)
В уравнении (11) - мгновенная скорость броуновской частицы. Проведем следующее преобразование уравнения: умножим обе части уравнения скалярно на радиус-вектор частицы. При этом получим:
(12)

Рассмотрим величины и .Имеем:
®, (13)
(14)
Учитывая соотношения (13) и (14), уравнение (12) можем переписать так:

(15)
Вычислим средние значения правой и левой частей уравнения (15).

(16)
Здесь á ñ - скобки усреднения. Ясно, что пары величин и , и являются независимыми, поэтому
и áñ = áñáñ =0. (17)
Уравнение (16) сводится в к следующему
(18)

При фиксированной температуре средняя кинетическая энергия частицы остается постоянной, поэтому правая часть уравнения (18) не изменяется со временем. Интегрирование уравнения дает:

(19)
Как видно, квадрат размера клубка траектории броуновской частицы, как и средний квадрат удаления молекулы от исходного положения, растет пропорционально времени. Множитель

- (20)
к оэффициент диффузии броуновской частицы.

Броуновский клубок может быть видимым, если из одного места начинают диффузионное движение сразу огромное число частиц.