Применение МНК для решения переопределенных систем линейных алгебраических уравнений

Пусть дана СЛАУ порядка относительно неизвестных:

, (2.7.11)

и при этом количество неизвестных меньше количества уравнений: . В общем случае, такая система является несовместной и не имеет точного решения. Тогда можно найти оптимальное решение, т.е. такое, при котором сумма

(2.7.12)

достигает своего минимума.

Сумма – функция переменных. Для определения точки минимума (оптимального решения) повторяем аналогичные выкладки из пункта 2.7.1:

.

Меняя порядок суммирования, получим СЛАУ относительно оптимальных значений :

, (2.7.13)

или в векторно-матричной форме:

, (2.7.14)

где коэффициенты матрицы и компоненты вектора правой части системы вычисляются по формулам

, ;	(2.7.15)
,

Или

; . (2.7.16)

Пример 3.7.1. Пусть требуется найти оптимальное решение системы уравнений

Составим систему уравнений относительно оптимального решения

;

;

Полученная система имеет вид

Решением этой СЛАУ (оптимальным решением исходной СЛАУ) будут следующие значения: , .