V. Основные понятия алгебры логики

IV. Системы счисления

Самостоятельная работа: [3] – стр. 82–104; [4] – стр. 87–103

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых правил, которые называются системами счисления. Символы алфавита системы счисления называются цифрами.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

В непозиционных количество, обозначаемое цифрой, не зависит от ее положения в числе. Пример: Римская система счисления. Её цифры: I, V, X, L, M. Величина числа – это сумма или разность цифр числа. Расшифровка числа начинается с самой старшей цифры. Далее, если более младшие цифры стоят левее, они вычитаются из старшей, если правее – прибавляются к ней. Пример:

IIXXX=10+10+10-1-1=28₁₀

В позиционных системах количественное значение цифры зависит от её положения в числе. Пример: запись арабскими цифрами. Каждое число можно представить в виде многочлена, в котором цифры числа являются коэффициентами при соответствующих степенях основания (степени увеличиваются справа налево).

Примеры:

123₁₀ = 3*10⁰+2*10¹+1*10² ;

333₁₀=3*10⁰+3*10¹+3*10²;

123₁₂=3*12⁰+2*12¹+1*12²= 3+2*12+1*144=171₁₀

Базовой системой счисления в вычислительной технике является двоичная система. Так как коды чисел и команд в ней слишком длинные, в документации используют более компактную запись по родственным основаниям: в восьмеричной или шестнадцатиричной системе.

_____________________________________________________________________

Таблица соответствия двоичных, восьмеричных и шестнадцатиричных чисел десятичным числам:

Шестнадцатиричное
Восьмеричное
Двоичное
Десятичное
Шестнадцатиричное			A	B	C	D	E	F
Восьмеричное
Двоичное
Десятичное

Примеры:

0011₂ = 1*2⁰+1*2¹+0*2²+0*2³ = 3₁₀

1F3D₁₆ = 13*16⁰+3*16¹+15*16²+1*16³ = 7997₁₀

37₈ = 7*8⁰+3*8¹=31₁₀

0110₂ = 0*2⁰+1+2¹+1*2²+0*2³ = 6₁₀

1Кб = 10 000 000 000₂ = 1024₁₀

_{________}

Перевод дробных чисел из одной системы в другую, способы выполнения арифметических операций в разных системах – [4] – стр. 87–103

Типовые задачи:

1. Представить в десятичной системе результат суммирования 111₂ и 111₂. Ответ: 1110₂=0*2⁰+1*2¹+1*2²+1*2³=14_10.

2. Числа в двоичной системе имеют вид: 10101 и 1000. Какой вид имеет их разность? Ответ: 1101₂

3. Результат вычисления 2⁷+2⁴+1 в двоичной системе имеет вид: 10 010 001₂

4. Упорядочить по возрастанию последовательность чисел: 55₈, 55₁₆, 55₇. Ответ: 55₇, 55₈, 55_16.

5. Упорядочить по убыванию последовательность чисел: 10 бит, 20 бит, 2 байта. Ответ: 20 бит, 2 байта, 10 бит.

6. Каков информационный объём фразы «Я помню чудное мгновенье» в Unicode? Ответ: 24 символа*16 бит=384 бит=48 байт

Самостоятельная работа [3] – стр. 108–143; [4] – стр. 122–146

Алгебра логики – это раздел математики, изучающий логические высказывания и логические операции над ними.

Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, про которое можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Примеры:

«студент 511 группы», «в городе более миллиона жителей» (без указания названия города) – не логические высказывания. «Иванов – студент 511 группы», «в городе Санкт-Петербурге более миллиона жителей» – логические высказывания.

Слова и словосочетания «не», «и», «или», «если…, то», «тогда и только тогда» называются логическими связками. Они позволяют из уже заданных высказываний строить новые, более сложные высказывания.

Составные высказывания – образованы из других с помощью логических связок. Пример: Если завтра будет дождь, то я возьму зонтик или никуда не пойду.

Элементарные высказывания – не содержат в себе других высказываний.

Для того чтобы исследовать общие характеристики высказываний, отвлекаясь от предметной области, к которой они относятся, их обозначают буквами латинского алфавита и рассматривают как логические переменные, принимающие только два значения: «истина» и «ложь». Каждая логическая связка рассматривается как операция, результат которой зависит от значений входящих в неё переменных (то есть высказываний). Для упрощения записи вместо слов «истина» и «ложь» используют двоичные цифры: «истина»=1, «ложь»=0.

Пример:

А = «Тимур поедет летом на море»; В = «Тимур летом оправится в горы»

А и В = «Тимур летом побывает и на море, и в горах»

Основные логические операции (иерархия сверху вниз):

Название	Обозначение	Результат
Отрицание, инверсия (связка «не»)	`А, ùА	А=0® ùА=1 А=1® ùА=0
Коньюнкция, лог. умножение (связка «и»)	А·В, А&В, А^В	А=1, В=1® А·В=1, в остальных случаях – =0
Дизъюнкция, лог. сложение (связка «или»)	АvВ, А+В	А=0, В=0® АvВ=0, в остальных случаях – =1
Импликация (связки «если…, то…», «из… следует…», … влечёт…»	А®В	А=1, В=0, то А® В=0, в остальных случаях =1
Эквиваленция, двойная импликация (связки «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «…равносильно…»,	А~В; А«В	А=1, В=1® А~В=1 А=0, В=0® А~В=1 А=1, В=0® А~В=0 А=0, В=1® А~В=0

Пример:

Если завтра будет дождь, то я возьму зонтик или никуда не пойду.

А = «завтра будет дождь»; В = «я возьму зонтик»; С = «я никуда не пойду». В символах логики эту фразу можно записать так: А®(ВvС)

При анализе логических высказываний (как элементарных, так и составных) удобно пользоваться таблицами истинности – в них представлены результирующие значения составного высказывания при всех возможных сочетаниях значений элементарных высказываний, которые входят в составное.

Пример таблиц истинности для основных логических операций

Коньюнкция А В F=А·В

Дизъюнкция А В F= АvВ

Импликация А В F= А® В

Эквиваленция А В F= А~В

Примеры анализа сложных логических формул с помощью таблиц истинности

1. Анализ логического высказывания «А и не В и не А»

А	В	Y1=ùА	Y2=ùВ	Y3=А и Y2	Y4=Y3 и Y1

Ответ: выражение тождественно ложно.

2. Анализ логического высказывания «А и не А или В»

А	В	Y1=ùА	Y2=А и Y1	Y3=Y2 или В

Ответ: Значение выражения совпадает со значением В при любом А.

Так же, как и для чисел, существуют законы, позволяющие производить тождественные преобразования сложных логических выражений к более понятному и удобному виду. Разобрать самостоятельно: [3] – стр. 119; [4] – стр. 136–138

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------