double arrow
V. Основные понятия алгебры логики

IV. Системы счисления

Самостоятельная работа: [3] – стр. 82–104; [4] – стр. 87–103

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых правил, которые называются системами счисления. Символы алфавита системы счисления называются цифрами.

Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.

В непозиционных количество, обозначаемое цифрой, не зависит от ее положения в числе. Пример: Римская система счисления. Её цифры: I, V, X, L, M. Величина числа – это сумма или разность цифр числа. Расшифровка числа начинается с самой старшей цифры. Далее, если более младшие цифры стоят левее, они вычитаются из старшей, если правее – прибавляются к ней. Пример:

IIXXX=10+10+10-1-1=2810

В позиционных системах количественное значение цифры зависит от её положения в числе. Пример: запись арабскими цифрами. Каждое число можно представить в виде многочлена, в котором цифры числа являются коэффициентами при соответствующих степенях основания (степени увеличиваются справа налево).

Примеры:

12310 = 3*100+2*101+1*102 ;

33310=3*100+3*101+3*102;

12312=3*120+2*121+1*122= 3+2*12+1*144=17110

Базовой системой счисления в вычислительной технике является двоичная система. Так как коды чисел и команд в ней слишком длинные, в документации используют более компактную запись по родственным основаниям: в восьмеричной или шестнадцатиричной системе.

_____________________________________________________________________

Таблица соответствия двоичных, восьмеричных и шестнадцатиричных чисел десятичным числам:




Шестнадцатиричное
Восьмеричное
Двоичное
Десятичное
Шестнадцатиричное A B C D E F
Восьмеричное
Двоичное
Десятичное

Примеры:

00112 = 1*20+1*21+0*22+0*23 = 310

1F3D16 = 13*160+3*161+15*162+1*163 = 799710

378 = 7*80+3*81=3110

01102 = 0*20+1+21+1*22+0*23 = 610

1Кб = 10 000 000 0002 = 102410

________

Перевод дробных чисел из одной системы в другую, способы выполнения арифметических операций в разных системах – [4] – стр. 87–103

Типовые задачи:

1. Представить в десятичной системе результат суммирования 1112 и 1112. Ответ: 11102=0*20+1*21+1*22+1*23=1410.

2. Числа в двоичной системе имеют вид: 10101 и 1000. Какой вид имеет их разность? Ответ: 11012

3. Результат вычисления 27+24+1 в двоичной системе имеет вид: 10 010 0012

4. Упорядочить по возрастанию последовательность чисел: 558, 5516, 557. Ответ: 557, 558, 5516.



5. Упорядочить по убыванию последовательность чисел: 10 бит, 20 бит, 2 байта. Ответ: 20 бит, 2 байта, 10 бит.

6. Каков информационный объём фразы «Я помню чудное мгновенье» в Unicode? Ответ: 24 символа*16 бит=384 бит=48 байт

Самостоятельная работа [3] – стр. 108–143; [4] – стр. 122–146

Алгебра логики – это раздел математики, изучающий логические высказывания и логические операции над ними.

Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, про которое можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Примеры:

«студент 511 группы», «в городе более миллиона жителей» (без указания названия города) – не логические высказывания. «Иванов – студент 511 группы», «в городе Санкт-Петербурге более миллиона жителей» – логические высказывания.

Слова и словосочетания «не», «и», «или», «если…, то», «тогда и только тогда» называются логическими связками. Они позволяют из уже заданных высказываний строить новые, более сложные высказывания.

Составные высказывания – образованы из других с помощью логических связок. Пример: Если завтра будет дождь, то я возьму зонтик или никуда не пойду.

Элементарные высказывания – не содержат в себе других высказываний.

Для того чтобы исследовать общие характеристики высказываний, отвлекаясь от предметной области, к которой они относятся, их обозначают буквами латинского алфавита и рассматривают как логические переменные, принимающие только два значения: «истина» и «ложь». Каждая логическая связка рассматривается как операция, результат которой зависит от значений входящих в неё переменных (то есть высказываний). Для упрощения записи вместо слов «истина» и «ложь» используют двоичные цифры: «истина»=1, «ложь»=0.

Пример:

А = «Тимур поедет летом на море»; В = «Тимур летом оправится в горы»

А и В = «Тимур летом побывает и на море, и в горах»

Основные логические операции (иерархия сверху вниз):

Название Обозначение Результат
Отрицание, инверсия (связка «не»)   `А, ùА А=0® ùА=1 А=1® ùА=0
Коньюнкция, лог. умножение (связка «и») А·В, А&В, А^В А=1, В=1® А·В=1, в остальных случаях – =0
Дизъюнкция, лог. сложение (связка «или») АvВ, А+В А=0, В=0® АvВ=0, в остальных случаях – =1
Импликация (связки «если…, то…», «из… следует…», … влечёт…» А®В А=1, В=0, то А® В=0, в остальных случаях =1
Эквиваленция, двойная импликация (связки «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «…равносильно…», А~В; А«В А=1, В=1® А~В=1 А=0, В=0® А~В=1 А=1, В=0® А~В=0 А=0, В=1® А~В=0  

Пример:

Если завтра будет дождь, то я возьму зонтик или никуда не пойду.

А = «завтра будет дождь»; В = «я возьму зонтик»; С = «я никуда не пойду». В символах логики эту фразу можно записать так: А®(ВvС)

При анализе логических высказываний (как элементарных, так и составных) удобно пользоваться таблицами истинности – в них представлены результирующие значения составного высказывания при всех возможных сочетаниях значений элементарных высказываний, которые входят в составное.

Пример таблиц истинности для основных логических операций

Коньюнкция
А В F=А·В

Дизъюнкция
А В F= АvВ

Импликация
А В F= А® В

Эквиваленция
А В F= А~В

Примеры анализа сложных логических формул с помощью таблиц истинности

1. Анализ логического высказывания «А и не В и не А»

А В Y1=ùА Y2=ùВ Y3=А и Y2 Y4=Y3 и Y1

Ответ: выражение тождественно ложно.

2. Анализ логического высказывания «А и не А или В»

А В Y1=ùА Y2=А и Y1 Y3=Y2 или В

Ответ: Значение выражения совпадает со значением В при любом А.

Так же, как и для чисел, существуют законы, позволяющие производить тождественные преобразования сложных логических выражений к более понятному и удобному виду. Разобрать самостоятельно: [3] – стр. 119; [4] – стр. 136–138

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------






Сейчас читают про: